Come costruire una Z controllata multi-qubit da cancelli elementari?

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Per l'implementazione di un certo algoritmo quantistico, ho bisogno di costruire un gate Z-controllato multi-qubit (in questo caso, tre qubit) da un set di gate elementari, come mostrato nella figura sotto. .

Le porte che posso usare sono

le porte di Pauli $\rm X, Y, Z$ e tutti i loro poteri (cioè tutte le rotazioni di Pauli fino a un fattore di fase),
(rotazione intornoproiettore), ${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ $|11\rangle\langle11|$
$\rm H$ (Hadamard),
$\rm C_X$ (single-qubit controllato-X o CNOT),
$\rm C_Z$ (single-qubit controllato-Z) e
$\rm S$ (SWAP).

Come posso fare per costruire questa Z controllata a tre qubit da queste porte? Ho letto diversi articoli sulle decomposizioni dei circuiti, ma nessuno di loro potrebbe darmi una risposta chiara e concisa.

quantum-gate gate-synthesis

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen
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Il tuo quarto registro dovrebbe avere una Z anziché un cerchio nero?

— user1271772

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@ user1271772 Entrambi vanno bene. Dal momento che le porte Z controllate sono simmetriche nei qubit usati (cioè uno può scambiare due qubit e l'effetto del gate rimarrà lo stesso), una notazione senza ordine, come quella con punti neri, è stata considerata più appropriata nella letteratura recente.

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen,

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(EDIT: migliorato a 14 CNOT.)

Può essere fatto con 14 CNOT, più 15 rotazioni Z a singolo qubit e nessun qubit ausiliario.

Il circuito corrispondente è

dove le porte $\fbox{$\pm$}$ sono rotazioni

R_{z} (\pm π / 16) α (\begin{matrix} 1 \\ e^{\pm io π / 8} \end{matrix})

$R_z(\pm\pi/16)\propto \left(\begin{matrix}1\\&e^{\pm i\pi/8} \end{matrix}\right)$

Derivazione:

Usando la procedura descritta in https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , qualsiasi porta diagonale - qualsiasi quindi in particolare la porta CCCZ - può essere scomposta in termini, ad esempio, di CNOT e porte diagonali a un qubit, dove i CNOT possono essere ottimizzati da soli seguendo una classica procedura di ottimizzazione.

Il riferimento fornisce un circuito che utilizza 16 CNOT per cancelli diagonali arbitrari a 4 qubit (Fig. 4).

Questo può essere migliorato se coppie arbitrarie di qubit possono essere accoppiate a 14 qubit. Per i vicini più vicini con condizioni al contorno periodiche (aperte), questo può essere fatto con 16 (18) CNOT. I circuiti corrispondenti possono essere trovati in https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , Fig. 5.2, 5.4 e 5.5, e possono ad esempio essere ottenuti usando metodi per costruire brevi sequenze di Gray.

Il numero di porte a un qubit è sempre 15.

Nota: anche se in linea di principio potrebbe esserci un circuito più semplice (detto circuito è stato ottimizzato tenendo presente un'architettura di circuito più vincolata), dovrebbe essere vicino all'ottimale - il circuito deve creare tutti gli stati della forma $\bigoplus_{i\in I}x_i$ per qualsiasi sottoinsieme non banale $I\subset\{1,2,3,4\}$ , e ce ne sono 15 per 4 qubit.

Si noti inoltre che questa costruzione non deve assolutamente essere ottimale.

^{1 Nota: sono un autore}

— Norbert Schuch
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E usare le porte Rx (o Ry) invece delle porte Rz renderebbe questo un gate X-controllato (o Y-controllato) multi-qubit?

— Sierox,

@Sierox Devi solo trasformare Hadamard in qualsiasi cosa sul qubit inferiore, cioè i CNOT corrispondenti diventeranno CZ e le rotazioni sul qubit inferiore diventeranno X.

— Norbert Schuch,

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Puoi implementare una controllata da qubit dal circuito indicato in questa risposta . Basta sostituire dalla . Tuttavia, ciò richiede porte CCNOT (Toffoli) e sono disponibili alcune opzioni su come implementare CCNOT utilizzando porte elementari . $n$ $U$ $U$ $Z$

— user1271772
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Ciò fornisce un circuito con profondità potenzialmente eccessiva. Forse l'OP vuole un circuito meno profondo con quel cancello impostato. Si può fare una procedura automatica per ridurre moderatamente le dimensioni dei circuiti.

— AHusain,

@AHusain: qual è la procedura automatica?

— user1271772

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Utilizza i risultati della teoria dei gruppi automatici, quindi era un gioco di parole. La spiegazione sarebbe andata altrove; non un breve commento.

— AHusain,

Va bene @Ausain, farò una domanda adatta solo a te!

— user1271772

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Ecco una costruzione CCCZ che utilizza 29 gate :

Se ti è permesso utilizzare la misurazione e il feedforward classico, il numero di gate può essere ridotto a 25 :

(Le porte Hadamard possono essere sostituite con radici quadrate di Y se necessario per soddisfare il vincolo del set di gate.)

E se mi permetti di eseguire porte Controlled-S e porte Controlled-sqrt (X) ed eseguire misurazioni su base X, allora posso ottenere fino a 10 porte in totale :

— Craig Gidney
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Ma stai usando un gate controllato di misura + condizionale alla fine. Direi che è al di fuori delle regole "normali" del gioco. (Ad esempio, se lo sostituissi con un gate controllato e posticipassi la misurazione, utilizzeresti comunque un Toffoli.)

— Norbert Schuch,

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@NorbertSchuch Ecco perché ho prefigurato il secondo diagramma con "se ti è permesso usare la misurazione e il feedforward classico". Si noti che il primo diagramma non usa queste cose.

— Craig Gidney,

UPS. Scusate. Colpa mia. Non avrei dovuto solo guardare le foto e scorrere un po ': - |

— Norbert Schuch,

Alla fine del primo circuito, il quinto qubit viene scartato. Come dovrei trattare quel qubit se avessi bisogno di più CCCZ in sequenza?

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen,

Lo inseriresti nella prossima CCCZ, ma lascerai cadere le prime due operazioni nel secondo circuito della CCCZ. Quelle operazioni lo stanno preparando in uno stato T, che è lo stato finale del qubit scartato. Quindi la seconda CCCZ avrebbe 2 operazioni in meno.

— Craig Gidney,

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Sto pubblicando un'altra decomposizione di CCCZ qui nel caso in cui sia utile per chiunque cerchi di compilare CCCZ. Richiede un numero inferiore di gate totali e solo 1 qubit ausiliario invece di 2, ma cinque più gate a 2 qubit rispetto alla risposta "ovvia", quindi potrebbe effettivamente essere peggio per l'implementazione su Hardware.

È stato suggerito dall'utente @Rob in questo commento: compilazione automatica di circuiti quantistici , e proviene da questo documento .

$(\chi)$

$n=5$ $\chi_{ij}=\chi$

— user1271772
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Il gate GMS5 è un gate piuttosto globale, difficile da confrontare con un conteggio dei gate convenzionale. Ed è molto probabile che anche negli scenari in cui questo gate può essere implementato, non sarai in grado di scegliere

χ_{i j}

$\chi_{ij}$ . Perché non prendere semplicemente il logaritmo del cancello CCCZ?

— Norbert Schuch,

@NorbertSchuch: la domanda richiede CCCZ not log (CCCZ). Se dovessimo fare il log (CCCZ), che presumibilmente suggerisci poiché GMS5 è un esponenziale di gate elementari e il suo logaritmo sarebbe probabilmente più semplice da implementare, sarebbe facile ottenere l'output di CCCZ dalla risposta al log ( CCCZ)?

— user1271772

Non ho idea di cosa tu stia parlando. Le somme di prodotti o Paulis NON sono facili da implementare. Non sono nemmeno unitari. --- Ma i logaritmi di unitari sono hamiltoniani, quindi se puoi evolvere nel tempo con log (CCCZ) attraverso una configurazione sperimentale intelligente, otterrai CCCZ con "una porta" in questo conteggio.

— Norbert Schuch,

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@NorbertSchuch: il tuo commento "exp (-iHt) è quasi adiabatico" è semanticamente nullo e non ha alcun senso. Perché mi hai chiesto "perché non semplicemente prendere il logaritmo del cancello CCCZ?" ?

— user1271772,

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@utente1271772 solo per aggiungere a ciò (credo) nei commenti di Norbert: il problema di cercare di trovare Hamiltoniani indipendenti dal tempo che generano direttamente cancelli non banali (CCX e altri sono considerati nel documento) è stato studiato in arxiv.org/ abs / 1803.07119 . Il problema in questa impostazione è quello di trovare hamiltoniani che contengono solo interazioni fattibili e generano comunque la porta target. La risorsa diventa quindi ciò che sono permesse le interazioni hamiltoniane, piuttosto che quali porte elementari sono permesse

— glS

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$T$ $Z^{1/4}$

$T$ $|1\rangle$ $HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$ $XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$ $-iHT^4H=-iX$ $Z^{1/4}$ $XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$

Si noti inoltre che le due porte Toffoli sono solo Toffoli perché hanno come obiettivo lo stato 0. In genere è necessario un gate aggiuntivo a due qubit.

Non ho trovato una costruzione altrettanto efficiente nella letteratura esistente, anche se questo documento sostiene una costruzione usando solo 11 porte da 2 qubit, ma non ho fatto un conteggio completo dei gate una volta convertito nel set di gate limitato della domanda.

— DaftWullie
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Sembra che tu non stia informando. nella metà inferiore del circuito - ma non ci ho pensato molto;)

— Norbert Schuch,

Non ho contestato l'ancilla, a parte una rotazione irrilevante a singolo qubit su di essa. Ecco cosa fa l'ultimo Toffoli. Suppongo che Toffoli dovrebbe essere in virgolette poiché manca 1 gate alla fine.

— DaftWullie,

Sei sicuro che il primo blocco sia un Toffoli - o è solo un Toffoli sull'Ancilla? (Ricordo che il migliore che si potesse fare per Toffoli era di circa 8 CNOT).

— Norbert Schuch,

Penso che ti manchi una correzione di fase CS sui primi due qubit nel blocco centrale. Dovresti essere in grado di rilasciare la CZ più a sinistra da ciascuno dei blocchi laterali.

— Craig Gidney,

Controllerò attentamente martedì. Ho pensato che questa formulazione evitasse il cS.

— DaftWullie,

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Mentre la mia altra risposta è il modo più ovvio di "libro di testo" (usando la decomposizione CCCZ di Nielsen & Chaung in CCNOT , quindi un'altra decomposizione del libro di testo per compilare i CCNOT ), un modo più creativo potrebbe permetterci di portare a termine il lavoro con meno porte.

Passo 1:

Sostituisci tutti i CNOT nel circuito di Nielsen & Chuang con questo gadget:

Passo 2:

Ora abbiamo un sacco di CCZ invece di CCNOT e possono essere decomposti in questo modo (per gentile concessione di questo documento ):

Passaggio 3:

$H^2 = I$

— user1271772
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Qual è il numero di gate?

— Norbert Schuch,