Lavori generali di

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Due dei più noti stati intrecciati sono lo stato GHZ $|\psi\rangle = 1/\sqrt{2}\left( |0\rangle^{\otimes n} + |1\rangle^{\otimes n}\right)$ e $W_n$ -state, con $W_3 = 1/\sqrt{3}\left(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle\right)$ .

Costruire lo stato GHZ è semplice per arbitrario $n$ . Tuttavia, che attua il $W_n$ -state è più difficile. Per $n=2$ è facile e per $n=4$ possiamo usare

H q[0,3]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[1]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[2]
CNOT q[2],q[0]
CNOT q[2],q[3]

Anche per $n=3$ abbiamo implementazioni, vedi ad esempio questa risposta . Tuttavia, non ho trovato un algoritmo che, dato un $n$ , emetta il circuito per costruire lo stato $W_n$ .

Esiste un tale algoritmo, definito da porte a uno e due qubit? E se è così, che cos'è?

algorithm entanglement quantum-state

— nippon
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Sì, ci sono diverse implementazioni di questo algoritmo nei kata quantistici di Superposizione (compiti 14 e 15):

$n = 2^k$ $2^{k-1}$ $|+\rangle$ $2^{k-1}$ $|0\rangle$ WState_PowerOfTwo_Reference
$n$ WState_Arbitrary_Reference
$W_n$ $n$ $n$ $2^k$ $W_{2^k}$ $W_n$ WState_Arbitrary_Postselect

Questo è il mio compito preferito di quel kata, perché permette così tanti approcci diversi.

— Mariia Mykhailova
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Il modo concettualmente più semplice per produrre uno stato W è in qualche modo analogo al campionamento classico del serbatoio , in quanto comporta una serie di operazioni locali che alla fine creano un effetto uniforme.

Fondamentalmente, guardi ogni qubit a sua volta e consideri "quanta ampiezza ho lasciato nello stato all-0s e quanto voglio trasferire nello stato just-this-qubit-is-ON?". Si scopre che la famiglia di rotazioni di cui hai bisogno è quella che chiamerò "odds gates" che hanno la seguente matrice:

M (p : q) = \sqrt{\frac{1}{p + q}} [\begin{matrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ - \sqrt{q} & \sqrt{p} \end{matrix}]

$M(p:q) = \sqrt{\frac{1}{p+q}} \begin{bmatrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ -\sqrt{q} & \sqrt{p} \end{bmatrix}$

Utilizzando queste porte, è possibile ottenere uno stato W con una sequenza di operazioni sempre più controllate:

$O(N^2 + N \lg(1/\epsilon))$ $N$ $\epsilon$

$O(N \lg(1/\epsilon))$

$N$ $\sqrt{1/N}$

Il passo parziale del grover:

Come eseguire un'operazione indicizzata (beh ... una specie di. La figura più vicina aveva un accumulatore che non è del tutto giusto per questo caso):

$O(N \lg(1/\epsilon))$ $O(N + \lg(1/\epsilon))$

— Craig Gidney
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È possibile definire la sequenza in modo ricorsivo. Concettualmente, quello che vuoi fare è:

$|0\rangle^{\otimes N}$
$\frac{1}{\sqrt{N}} (\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N - 1} \\ \sqrt{N - 1} & - 1 \end{array})$ $\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N-1} \\ \sqrt{N-1} & -1 \end{array}\right)$
$|W_{N-1}\rangle$ $N$ $|1\rangle$
Applicare un gate bit-flip su qubit 1.

Questo algoritmo, come espresso, non è composto solo da porte a uno e due qubit, ma può certamente essere scomposto come tale da costruzioni universali standard.

$N=2^n$ $n$ $|1\rangle$ $|W_2\rangle$ $|W_4\rangle$ $|W_8\rangle$ $O(\log N)$

— DaftWullie
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