Possiamo accelerare l'algoritmo di Grover eseguendo processi paralleli?

Nel calcolo classico, possiamo eseguire la ricerca chiave (ad esempio AES) eseguendo il maggior numero possibile di nodi di calcolo paralleli.

È chiaro che possiamo anche eseguire molti algoritmi di Grover.

La mia domanda è ; è possibile accelerare usando più di un algoritmo di Grover come nel calcolo classico?

classical-computing grovers-algorithm cryptography

— kelalaka
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Risposte:

$K=2^k$ $U_S$

H^{\otimes n} (I_{n} - 2 | 0 ⟩ ⟨ 0 |^{\otimes n}) H^{\otimes n} U_{S},

$H^{\otimes n}(\mathbb{I}_n-2|0\rangle\langle 0|^{\otimes n})H^{\otimes n}U_S,$

(H | 0 ⟩)^{\otimes n}

$(H|0\rangle)^{\otimes n}$

Θ (\sqrt{N})

$\Theta(\sqrt{N})$

I_{n}

$\mathbb{I}_n$

2^{n} \times 2^{n}

$2^n\times 2^n$

$2^k$ $x\in\{0,1\}^k$

(I_{k} \otimes H^{\otimes (n - k)}) I_{k} \otimes (I_{n - k} - 2 | 0 ⟩ ⟨ 0 |^{\otimes (n - k)}) (I_{k} \otimes H^{\otimes (n - k)}) U_{S}

$\left(\mathbb{I}_k\otimes H^{\otimes (n-k)}\right)\mathbb{I}_k\otimes(\mathbb{I}_{n-k}-2|0\rangle\langle 0|^{\otimes (n-k)})\left(\mathbb{I}_k\otimes H^{\otimes (n-k)}\right)U_S$

| x ⟩ (H | 0 ⟩)^{\otimes (n - k)}

$|x\rangle(H|0\rangle)^{\otimes(n-k)}$

O (\sqrt{N / K})

$O(\sqrt{N/K})$

K

$K$

$K$ $\sqrt{K}$ $K$ $K$ $\sqrt{K}$ $N$

— DaftWullie
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x

$x$

N

$N$

K

$K$

K

$K$

In un certo senso, se lo facessimo in parallelo su nodi diversi, risparmierai tempo per l'esecuzione. Ma se parliamo di complessità (questo è ciò che facciamo riferimento all'accelerazione in generale), abbiamo bisogno di un po 'di analisi.

$\sqrt{N}$ $N_1,N_2$ $\sqrt{N_1},\sqrt{N_2}$

\sqrt{N} = \sqrt{N_{1} + N_{2}} \leq \sqrt{N_{1}} + \sqrt{N_{2}}

$\sqrt{N} = \sqrt{N_1+N_2} \le \sqrt{N_1} + \sqrt{N_2}$

$O$

Tuttavia, sarebbe comunque interessante soprattutto se dovessimo raggruppare l'hardware perché siamo limitati in numero di qubit o altre limitazioni.

— Cnada
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Per N1 = N2 è ancora una disuguaglianza: sqrt (2) * sqrt (N1) <2 * sqrt (N1)

— Mariia Mykhailova

Oh davvero. Nella mia testa $ \ sqrt {a b} = \ sqrt {a} \ sqrt {b} $ ho pensato. Dovrei smettere di rispondere alle risposte qui a mezzanotte e quando sono stanco. Grazie per la segnalazione.

— cnada,

@cnada: ci sono almeno due diverse nozioni di complessità, entrambe rilevanti per l'accelerazione. Uno è la complessità delle dimensioni e uno è la complessità della profondità. Se non diversamente specificato, spesso preferiamo considerare la complessità dimensionale, ma la complessità della profondità è ancora qualcosa di molto interessante nella complessità computazionale quantistica, ad esempio in MBQC [arXiv: quant-ph / 0301052 , arXiv: 0704.1736 ] e risultati recenti su separazioni di profondità incondizionate [arXiv: 1704.00690 ].

— Niel de Beaudrap,

@NieldeBeaudrap Pensavo che le persone guardassero più alla profondità della complessità. Ma per Grover, le dimensioni e la complessità della profondità sono all'incirca nello stesso ordine. È quadratico nella dimensione del problema (generalmente visto come la dimensione di un elenco di N elementi). Pensi che il mio approccio qui non sia giusto?

— cnada,

k \in O (1)

$k \in O(1)$

\sqrt{N}

$\sqrt N$

\log (k) \sqrt{N / k}

$\log(k) \sqrt{N/k}$

k (N) \in Ω (1)

$k(N) \in \Omega(1)$

\sqrt{k} / \log (k)

$\sqrt{k}/\!\!\;\log(k)$