La sfera Bloch può essere generalizzata a due qubit?

La sfera Bloch è una bella visualizzazione di singoli stati di qubit. Matematicamente, può essere generalizzato a qualsiasi numero di qubit per mezzo di un'ipersfera ad alta dimensione. Ma queste cose non sono facili da visualizzare.

Quali tentativi sono stati fatti per estendere le visualizzazioni basate sulla sfera Bloch a due qubit?

Per gli stati puri, esiste un modo ragionevolmente semplice per creare una "sfera di blocco a 2 qubit" . Fondamentalmente usi la decomposizione di Schmidt per dividere il tuo stato in due casi: non impigliato e completamente impigliato. Per la parte non impigliata, devi solo usare due sfere di bloch. E quindi la parte intrecciata è isomorfa all'insieme delle possibili rotazioni nello spazio 3d (la rotazione è il modo in cui traduci le misurazioni su un qubit in previsioni sull'altro qubit). Questo ti dà una rappresentazione con otto parametri reali:

1) Un valore reale w compreso tra 0 e 1 che indica il peso di non impigliato rispetto a tutto impigliato.

2 + 3) Il vettore di blocco unità non impigliato per qubit 1.

4 + 5) Il vettore di blocco unità non impigliato per qubit 2.

6 + 7 + 8) La rotazione completamente intrecciata.

Ecco come appare se mostri la parte di rotazione come "dove vengono mappati gli assi XY e Z" e ridimensiona ulteriormente gli assi di w in modo che diventi più grande quanto più sei impigliato:

(Il rimbalzo nel mezzo è dovuto a una degenerazione numerica nel mio codice.)

Per stati misti, ho avuto un po 'di successo mostrando l'inviluppo di vettori di bloc previsti per qubit 2 data ogni possibile misura di qubit 1. Sembra così:

Ma nota che a) questa rappresentazione 'dell'inviluppo' non è simmetrica (uno dei qubit è il controllo e l'altro è il bersaglio) eb) sebbene sembri carino, non è algebricamente compatto.

Questo display è disponibile nel ramo alternativo dev-entanglement-display di Quirk. Se sei in grado di seguire le istruzioni di costruzione, puoi giocarci direttamente.

Poiché uno spin $j$ rappresentazione irriducibile di $SU(2)$ è di dimensione $2j+1$ ( $j$ è semidispari), qualsiasi spazio finito dimensionale Hilbert può essere ottenuto come uno spazio di rappresentazione $SU(2)$ . Inoltre, poiché tutte le rappresentazioni irriducibili di $SU(2)$ sono prodotti tensoriali simmetrici della rappresentazione fondamentale dello spinore, quindi ogni spazio di Hilbert di dimensioni finite può essere pensato come un prodotto tensore simmetrico di S U fondamentale ( 2 )$SU(2)$ spazi di rappresentazione fondamentali.

Questa è la base della costruzione della rappresentazione stellare Majorana. Uno stato di qudit che vive in uno spazio di Hilbert di dimensione $2j+1$ può essere rappresentato da $2j$ punti j sulla sfera Bloch. Il vettore di stato può essere ricostruito dai vettori di spin $2j$ (bidimensionali) dei punti $2j$ da un prodotto tensore simmetrizzato.

Dato un vettore di stato in uno spazio di Hilbert dimensionale $2j+1$ (vedere Liu, Fu e Wang , sezione 2.1)

$z = \tan \theta e^{i\phi}$$\theta$$\phi$ sono le coordinate sferiche))

Un'applicazione di questa rappresentazione al calcolo quantistico è la visualizzazione delle traiettorie che danno origine a fasi geometriche, che fungono da porte nel calcolo quantistico olonomico. Queste traiettorie si riflettono come traiettorie delle stelle Majorana sulle sfere di Bloch e le fasi geometriche possono essere calcolate dagli angoli solidi racchiusi da queste traiettorie. Si prega di vedere il lavoro di Liu e Fu sulle fasi geometriche abeliane. Liu Roy e Stone trattano alcuni casi non abeliani .

Infine, vorrei sottolineare che esistono molte rappresentazioni geometriche rilevanti per il calcolo quantistico, ma sono multidimensionali e potrebbero non essere utili in generale come strumenti di visualizzazione. Si veda ad esempio Bernatska e Holod che trattano le orbite congiunte che possono servire come spazi di fase degli spazi di Hilbert di dimensione finita usati nel calcolo quantistico. Il Grassmanniano che parametrizza la varietà dello stato fondamentale dei hamiltoniani quantistici adiabatici è un esempio particolare di questi spazi.

Per una visualizzazione a più di 1 qubit, avremo bisogno di visualizzazioni più complesse di una sfera Bloch. La seguente risposta di Physics Stack Exchange spiega questo concetto in modo abbastanza autorevole:

Sfera di blocco per 2 e più qubit

In un altro articolo, la rappresentazione a due qubit è descritta come una sfera a sette dimensioni, S 7, che consente anche una fibrazione di Hopf, con fibre S 3 e una base S 4. Il risultato più sorprendente è che le fibrazioni S 7 Hopf opportunamente orientate sono sensibili all'entanglement.

Geometria degli stati intrecciati, sfere di Bloch e fibrazioni di Hopf

Detto questo, un approccio basato sulla sfera di Bloch è abbastanza utile anche per modellare il comportamento dei qubit in un ambiente rumoroso. C'è stata un'analisi del sistema a due qubit usando il vettore di Bloch generalizzato per generare equazioni analitiche trattabili per la dinamica dei vettori di Bloch a quattro livelli. Questo si basa sull'applicazione di concetti geometrici della nota sfera Bloch a due livelli.

Possiamo scoprire che in presenza di rumore correlato o anti-correlato, il tasso di decoerenza è molto sensibile allo stato iniziale a due qubit, nonché alla simmetria dell'hamiltoniano. In assenza di simmetria nell'hamiltoniano, le correlazioni incidono solo debolmente sul tasso di decoerenza:

Approccio a sfera bloch al rumore correlato nei qubit accoppiati

C'è un altro interessante articolo di ricerca sulla rappresentazione dello stato puro a due qubit parametrizzato da tre sfere a 2 unità e un fattore di fase. Per stati separabili, due delle sfere a tre unità sono le sfere di Bloch di ogni qubit con coordinate (A , A) e (B, B). La terza sfera parametrizza il grado e la fase della concorrenza, una misura di entanglement.

Questa sfera può essere considerata un'unità immaginaria complessa "variabile" dove la proiezione stereografica mappa la sfera Quch-A Bloch su un piano complesso con questa unità immaginaria variabile. Questo modello di sfera Bloch fornisce una descrizione coerente degli stati puri a due qubit sia per gli stati separabili che per quelli aggrovigliati.

Secondo questa ipotesi, la terza sfera (sfera entanglement) parametrizza le proprietà non locali, l'entanglement e una fase relativa nonlocale, mentre le fasi relative locali sono parametrizzate dagli angoli azimutali, A e B, delle due sfere quasi-Bloch.

Modello a sfera Bloch per due

Abbiamo alcune visualizzazioni multiqubit all'interno del pacchetto Black Opal di Q-CTRL .

Questi sono tutti completamente interattivi e sono progettati per aiutare a costruire intuizione sulle correlazioni nell'interazione dei sistemi a due qubit.

Le due sfere Bloch rappresentano gli stati separabili rilevanti di due qubit. I tetraedri nel mezzo catturano visivamente le correlazioni tra determinate proiezioni dei due qubit. Quando non vi è alcun intreccio, i vettori Bloch vivono interamente sulle superfici delle rispettive sfere. Tuttavia, uno stato completamente impigliato vive esclusivamente nello spazio delle correlazioni in questa rappresentazione. Gli estremi di questi spazi saranno sempre stati impigliati al massimo come gli stati di Bell, ma gli stati impigliati al massimo possono anche risiedere contemporaneamente in più tetraedri.

Un articolo è stato pubblicato sull'argomento, chiamato "Modello a sfera di Bloch per stati puri a due qubit"

https://arxiv.org/abs/1403.8069