Matrici unitarie approssimative

Al momento ho 2 matrici unitarie che voglio approssimare ad una buona precisione con il minor numero possibile di porte quantiche.

Nel mio caso le due matrici sono:

La radice quadrata di NOT gate (fino a una fase globale) $sol = \frac{- 1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} io & 1 \\ 1 & io \end{matrix}) = e^{- \frac{3}{4} π} \sqrt{X}$ $G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$
$W = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

La mia domanda è la seguente:

Come posso approssimare queste matrici specifiche con il minor numero possibile di porte quantiche e una buona precisione?

Quello che voglio avere può permettermi di averlo:

Posso permettermi di utilizzare diversi giorni / settimane di tempo CPU e molta RAM.
Posso permettermi di passare 1 o 2 giorni umani alla ricerca di trucchi matematici (in ultima istanza, ecco perché chiedo prima qui). Questa volta non include il tempo necessario per implementare gli ipotetici algoritmi utilizzati per il primo punto.
Voglio che la decomposizione sia quasi esatta. Non ho una precisione target al momento, ma le 2 porte sopra sono ampiamente utilizzate dal mio circuito e non voglio che gli errori si accumulino troppo.
Voglio che la decomposizione utilizzi il minor numero possibile di porte quantiche. Questo punto è secondario per il momento.
Un buon metodo mi permetterebbe di scegliere il compromesso che desidero tra il numero di porte quantiche e la precisione dell'approssimazione. Se ciò non è possibile, è probabilmente richiesta una precisione di almeno $10^{-6}$ (in termini di norma di traccia) (come detto prima, non ho stime, quindi non sono sicuro di questa soglia).
Il set di gate è: ${H, X, Y, Z, R_{φ}, S, T, R_{X}, R_{y}, R_{z}, CX, SCAMBIARE, iSWAP, \sqrt{SCAMBIARE}}$ $\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$ con $R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ come descritto inWikipédia, $R_A$ la rotazione rispetto $A$ ( $A$ è $X$ , $Y$ o $Z$ ) e $iSWAP = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & io & 0 \\ 0 & io & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ .

I metodi che conosco:

L'algoritmo Solovay-Kitaev. Ho un'implementazione di questo algoritmo e l'ho già testato su diverse matrici unitarie. L'algoritmo genera sequenze piuttosto lunghe e il compromesso [numero di porte quantiche] VS [precisione dell'approssimazione] non è abbastanza parametrizzabile. Tuttavia, eseguirò l'algoritmo su queste porte e modificherò questa domanda con i risultati che ho ottenuto.
Due articoli sull'approssimazione del gate a 1 qubit e sull'approssimazione del gate n-qubit . Ho anche bisogno di testare questi algoritmi.

EDIT: modificato la domanda per rendere più evidente la "radice quadrata di non".

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— Nelimee
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Hai in mente un gate-set specifico e c'è un motivo per cui non puoi implementare

nativamente / direttamente sul qubit?

G

$G$

— Mithrandir24601

Modificato per

— precisare il

Sembra che W possa essere fatto con il sqrt giusto (SWAP) + un CNOT + single-qubit gate.

— Norbert Schuch,

Sono curioso di sapere cosa stai cercando di fare con questo, se non ti dispiace elaborare.

— psitae

Queste due porte stanno comparendo in circuiti quantistici per simulare Hamiltoniani molto semplici (hamiltoniani sparsi 1 con solo voci reali o solo voci immaginarie). La tesi che si sviluppa su questo è piuttosto difficile da ottenere. L'unico modo che ho trovato è di richiederne una copia qui e attendere una risposta sulla tua casella di posta :)

— Nelimee,

Hai scelto due matrici particolarmente semplici da implementare.

La prima operazione (G) è solo la radice quadrata di X gate (fino alla fase globale):

$R_X(\pi/2)$

La seconda operazione (W) è una matrice Hadamard nel blocco 2x2 centrale di una matrice altrimenti identitaria. Ogni volta che vedi questo schema 2x2-in-the-middle dovresti pensare "operazione controllata coniugata da CNOT". Ed è esattamente ciò che funziona qui (nota: potrebbe essere necessario scambiare le righe; dipende dalla convenzione di endianness):

Quindi l'unico vero problema è come implementare un'operazione Hadamard controllata. Un Hadamard è una rotazione di 180 gradi attorno all'asse X + Z. È possibile utilizzare una rotazione di 45 gradi attorno all'asse Y per spostare l'asse X + Z sull'asse X, quindi eseguire un CNOT al posto del CH, quindi spostare indietro l'asse:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

— Craig Gidney
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$W$ $W \in O(4)$ $CNOTs$

La costruzione è ottimale nel senso che richiede due porte CNOT e al massimo 12 porte a qubit singolo (per il caso più generale di una vera porta a due qubit). La costruzione si basa sull'omomorfismo:

S O (4) \approx S U (2) \times S U (2),

$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2),$

W

$W$

W = M U M^{†}

$W = M U M^{\dagger}$

U \in S U (2) \otimes S U (2)

$U\in SU(2) \otimes SU(2)$

$M$ $M$

Utilizzando questa costruzione, l'implementazione full gate fornita da Vatan e Williams è:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$ $R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$ $B$

— David Bar Moshe
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Nessuna di queste porte richiede sequenze approssimative. Puoi implementarli esattamente con i set di gate specificati senza grandi sforzi.

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$ $R_Y(\theta)$

— DaftWullie
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