Perché un qubit impigliato viene mostrato all'origine di una sfera Bloch?

Non sono chiaro il motivo per cui la rappresentazione della sfera Bloch di un qubit massimamente impigliato mostri lo stato del bit come all'origine della sfera.

Ad esempio, questa illustrazione

mostra l'effetto del circuito semplice

nel tempo, con $q_0$ a sinistra e $q_1$ a destra. Entrambi i qubit finiscono all'origine delle rispettive sfere dopo l'applicazione di $CNOT$ ( $q_1$ "attende" al suo valore iniziale fino a quando $H$ sposta da $q_1$ a $x$ ).

Perché viene mostrato un qubit al massimo impigliato all'origine di una sfera Bloch?

Una sorta di spiegazione è fornita qui , ma sono troppo principiante per seguirla.

entanglement bloch-sphere

— Orome
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Questa è una buona domanda con buone risposte. Il formalismo parziale della matrice di densità e traccia è necessario per comprendere le risposte. Senza questi strumenti, possiamo solo fornire la descrizione più superficiale di ciò che sta accadendo.

— psitae

Risposte:

La sfera Bloch rappresenta solo lo stato di un singolo qubit. Quello di cui stai parlando è prendere uno stato multi-qubit e rappresentare lo stato di solo uno di quei qubit sulla sfera Bloch.

Se lo stato multi-qubit è uno stato del prodotto (puro e separabile), lo stato del singolo qubit è uno stato puro ed è rappresentato come un punto sulla superficie della sfera Bloch. Se lo stato complessivo è impigliato, allora il singolo qubit non è puro ed è rappresentato da un punto che si trova all'interno della sfera di Bloch. Più breve è la distanza dal centro, più misto è il qubit individuale, e quindi più è impigliato lo stato globale. Lo stato massimo impigliato produce la distanza più breve possibile, cioè il punto proprio al centro della sfera. La risposta di AHussain ti fornisce la matematica su come calcolarlo formalmente.

— DaftWullie
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Queste risposte sono utili, ma non del tutto al livello che sto cercando, che è sia molto semplice (gli operatori di densità mi rendono ancora un po 'nauseabondo) sia di livello superiore, vale a dire: perché rappresentano l'entanglement come distanza dal centro della sfera ? C'è qualche motivo naturale o convincente per farlo? deriva da qualcos'altro che è ben consolidato o fondamentale?

— orome,

Permettetemi di ribadirlo, la Sfera di Bloch non rappresenta l'entanglement. Rappresenta lo stato di un qubit. Se quel qubit fa parte di uno stato puro a due qubit, la misura in cui un qubit non si trova in uno stato prodotto è la misura in cui è impigliato. Ma, fondamentalmente, questa è una proprietà degli operatori di densità per singoli qubit. Non puoi nasconderti da quello.

— DaftWullie,

Ecco la parte cruciale, penso: "allora la misura in cui un qubit non è nello stato di un prodotto è la misura in cui è impigliata". Questo fornisce il razionale che stavo cercando.

— orome,

$(x,y,z)$ $x^2+y^2+z^2 \leq 1$

Lo stato associato a questo punto è

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} ({io}_{2} + X σ_{X} + y σ_{y} + z σ_{z}) \\ = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + z & X - io y \\ X + io y & 1 - z \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} (I_2 + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z)\\ &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+z&x-iy\\ x+iy&1-z\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$

$(x,y,z)=(0,0,0)$ $\rho$

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + 0 & 0 - io 0 \\ 0 + io 0 & 1 - 0 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+0&0-i0\\ 0+i0&1-0\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Questo è lo stato massimamente misto.

Ciò che viene mostrato è lo stato per solo 1 qubit. Questo è il risultato dopo aver eseguito una traccia parziale sull'altro qubit.

$q_0$

\begin{array}{rcl} ρ & = & | 0 ⟩ ⟨ 0 | \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& | 0 \rangle \langle 0 |\\ \end{eqnarray*}$

$(x,y,z)=(0,0,1)$

Quindi va a

\begin{array}{rcl} ρ & = & H | 0 ⟩ ⟨ 0 | H \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& H | 0 \rangle \langle 0 | H\\ \end{eqnarray*}$

Ma dopo il CNOT lo è

\begin{array}{rcl} ρ & = & {Tr}_{2} ({CNOT}_{12} H | 00 ⟩ ⟨ 00 | H {CNOT}_{12}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \text{Tr}_2 (\operatorname{CNOT}_{12} H | 0 0 \rangle \langle 00 | H \operatorname{CNOT}_{12}) \\ \end{eqnarray*}$

$(x,y,z)=(0,0,0)$

$2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$ $d$ o più qubit. Non prendere troppo sul serio questa particolare parametrizzazione, ci consente solo di tracciare lo stato in modo da trasmettere rapidamente le informazioni visivamente.

— AHusain
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Vedi il mio commento alla risposta di DaftWullie.

— orome,

A cura di dire come non è fondamentale.

— AHusain,

Dici che non funziona così bene per d ≠ 2 ma la visualizzazione sembra essere ancora comunemente usata per dimensioni maggiori .

— orome,

Quello che stanno facendo è come questo circuito, stanno mostrando ogni qubit dopo aver tracciato gli altri. Proprio come con questo circuito che mostra 2 sfere. Quello che stavo dicendo riguarda il tentativo di visualizzare matrici di densità d per l'intero sistema. Diventano troppo grandi e complicati per disegnare.

— AHusain,