Come funziona la notazione bra-ket?

29

Gli algoritmi quantistici usano spesso la notazione bra-ket nella loro descrizione. Cosa significano tutte queste parentesi e linee verticali? Ad esempio: $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

Mentre questa è probabilmente una domanda sulla matematica, questo tipo di notazione sembra essere usato frequentemente quando si tratta specificamente di calcolo quantistico. Non sono sicuro di averlo mai visto usato in altri contesti.

modificare

Con l'ultima parte, intendo dire che è possibile indicare vettori e prodotti interni usando la notazione standard per l'algebra lineare, e alcuni altri campi che usano questi oggetti e operatori lo fanno senza l'uso della notazione bra-ket.

Questo mi porta a concludere che esiste qualche differenza / ragione per cui bra-ket è particolarmente utile per indicare algoritmi quantistici. Non è un'affermazione di fatto, lo intendevo come un'osservazione. "Non sono sicuro di averlo visto usato altrove" non è la stessa affermazione di "Non è usato in nessun altro contesto".

notation

— Ella Rose
fonte

3

Correlati: Come notazione bra-ket di

T E X

$\TeX$ su Meta.

— Nat

18

Come già spiegato da altri, un ket è solo un vettore. Un reggisenoè il coniugato eremitico del vettore. Puoi moltiplicare un vettore con un numero nel solito modo. $\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

Ora arriva la parte divertente: puoi scrivere il prodotto scalare di due vettori e come . $\left|\psi\right>$ $\left|\phi\right>$ $\left<\phi\middle|\psi\right>$

È possibile applicare un operatore al vettore (in dimensioni finite questa è solo una moltiplicazione di matrici) . $X\left|\psi\right>$

Tutto sommato, la notazione è molto utile e intuitiva. Per ulteriori informazioni, consultare l' articolo di Wikipedia o un libro di testo sulla Meccanica Quantistica.

— jknappen: ripristina Monica
fonte

"il reggiseno è un coniugato eremitico." Che cos'è un coniugato eremitico di un vettore? E solo il prodotto interno dei vettori e ?

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{⊤} ψ

$\phi^\top \psi$

ϕ

$\phi$

ψ

$\psi$

— sviluppatore il

Esistono due tipi di vettori, vettori di colonna e vettori di riga. Il coniugato eremitico di un vettore di colonna è un vettore di riga con elementi coniugati complessi e viceversa.

— jknappen - Ripristina Monica il

elementi coniugati complessi?

— sviluppatore il

Elementi come in elementi di matrice. Puoi anche usare il termine "componenti" che è più comune quando si parla di vettori.

— jknappen - Ripristina Monica il

1

Sì, è il prodotto interno , ma lo spazio vettoriale è complesso, quindi la formula è , nota il pugnale per il coniugato eremitico, non è solo la trasposizione.

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{†} ψ

$\phi^\dagger\psi$

— jknappen - Ripristina Monica il

20

Si potrebbe pensare a e come due stati di base ortonormali (rappresentati da "ket" s) di un bit quantico che risiede in uno spazio vettoriale complesso bidimensionale. Le linee e le parentesi che vedi sono fondamentalmente la notazione bra-ket, nota anche come notazione di Dirac, che è comunemente usata nella meccanica quantistica. $|0\rangle$ $|1\rangle$

Ad esempio potrebbe rappresentare lo stato di spin-down di un elettrone mentre potrebbe rappresentare lo stato di spin-up. Ma in realtà l'elettrone può trovarsi in una sovrapposizione lineare di questi due stati, ovvero (questo è normalmente normalizzato come ) dove . $|0\rangle$ $|1\rangle$ $|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ $\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$ $a,b\in \Bbb{C}$

— Sanchayan Dutta
fonte

16

Cosa significano tutte queste parentesi e linee verticali?

La notazione significa esattamente la stessa cosa di o , ovvero indica un vettore il cui nome è "v". Questo è tutto. Non c'è nessun altro mistero o magia, affatto. Il simbolo indica un vettore chiamato "psi". $\left \lvert v \right \rangle$ $\vec{v}$ $\textbf{v}$ $\left \lvert \psi \right \rangle$

Il simbolo è chiamato "ket", ma potrebbe anche (e secondo me dovrebbe) essere chiamato un "vettore" senza alcuna perdita di significato. $\left \lvert \cdot \right \rangle$

Mentre questa è probabilmente una domanda sulla matematica, questo tipo di notazione sembra essere usato frequentemente quando si tratta specificamente di calcolo quantistico. Non sono sicuro di averlo mai visto usato in altri contesti.

La notazione è stata inventata da un fisico ( Paul Dirac ) e si chiama "notazione di Dirac" o "notazione bra-ket" . Per quanto ne so, Dirac probabilmente inventato studiando la meccanica quantistica, e così storicamente la notazione è in gran parte stato utilizzato per indicare i vettori che compaiono in meccanica quantistica, cioè stati quantistici. La notazione bra-ket è lo standard in qualsiasi contesto di meccanica quantistica, non solo il calcolo quantistico. Ad esempio, l' equazione di Schrodinger , che ha a che fare con la dinamica dei sistemi quantistici e che precede il calcolo quantistico da decenni, è scritta usando la notazione bra-ket.

Inoltre, la notazione è piuttosto conveniente in altri contesti di algebra lineare e viene utilizzata al di fuori della meccanica quantistica.

— DanielSank
fonte

12

Questo mi porta a concludere che esiste qualche differenza / ragione per cui bra-ket è particolarmente utile per indicare algoritmi quantistici.

C'è già una risposta accettata e una risposta che spiega 'ket', 'bra' e la notazione del prodotto scalare.

Proverò ad aggiungere un po 'di più alla voce evidenziata. Cosa lo rende una notazione utile / utile?

La prima cosa per cui la notazione bra-ket è usata molto è indicare semplicemente gli autovettori di un operatore (di solito eremitico) associato a un autovalore. Supponiamo di avere un'equazione di autovalore , che può essere indicata come , e probabilmente qualche etichetta extra se c'è un po 'di degenerazione . $A(v)=\lambda v$ $A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$ $k$ $A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

Vedete questo impiegato in tutta la meccanica quantistica, gli eigenstate del momento tendono ad essere etichettati come o seconda delle unità o con più stati di particelle ; rappresentazione del numero di occupazione per il sistema bose e fermi molti sistemi corporei ; una mezza particella di spin che prende di solito gli dell'operatore , scritto a volte come e o e , ecc. come scorciatoia per $\left|\vec{k}\right\rangle$ $\left|\vec{p}\right\rangle$ $\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$ $\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$ $S_z$ $\left|+\right\rangle$ $\left|-\right\rangle$ $\left|\uparrow\,\right\rangle$ $\left|\downarrow\,\right\rangle$ $\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; le armoniche sferiche come autofunzioni delle funzioni e sono convenientemente scritte come con e $L^2$ $L_z$ $\left|l,m\right\rangle$ $l=0,1,2,\ldots$ $m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

Quindi la praticità della notazione è una cosa, ma c'è anche una sorta di sensazione 'lego' alle manipolazioni algebriche con notazione , ad esempio l' operatore metà spin nella notazione come , agendo su uno stato come uno semplicemente $S_x$ $S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$ $\left|\uparrow\right\rangle$

S_{x} | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} (| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↑ |) | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↑ ⟩ ⟨ ↓∣↑ ⟩ + \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩ ⟨ ↑∣↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩

$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$

poiché e . $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

Cosa lo rende utile per gli algoritmi quantistici?

Supponiamo di avere un sistema a due livelli adatto per un qubit; questo forma uno spazio vettoriale complesso bidimensionale dire la cui base è indicata come e . Quando consideriamo dire qubit di questa forma, gli stati del sistema vivono in uno spazio più grande lo spazio del prodotto tensore, . La notazione di Dirac può essere piuttosto utile qui, gli stati di base saranno etichettati da stringhe di uno e di zeri e uno di solito indica uno stato, ad esempio , e diciamo che abbiamo un operatore di flip che scambia $V$ $\left|0\right\rangle$ $\left|1\right\rangle$ $n$ $V^{\otimes n}$ $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$ $X_i$ $1\leftrightarrow 0$ sul 'esimo bit, questo può agire piuttosto semplicemente sulle suddette corde ad esempio , e prendendo una somma di operatori o di agire su un la sovrapposizione degli stati funziona altrettanto semplicemente. $i$ $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

Leggera cautela: uno stato scritto come non significa sempre , ad esempio quando hai due fermioni identici con le funzioni wave dicono e , con etichette che indicizzano un set di basi, quindi si potrebbe scrivere lo stato determinante slater dei fermioni in una scorciatoia come o even . $\left|a,b\right\rangle$ $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$ $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$

\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{1}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{2}) - ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{2}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{1}))

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$

| ϕ_{k_{1}}, ϕ_{k_{2}} ⟩

$\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$

| k_{1}, k_{2} ⟩ \neq | k_{1} ⟩ \otimes | k_{2} ⟩

$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

— snulty
fonte

8

La notazione ket indica un vettore in qualunque spazio vettoriale in cui stiamo lavorando, come lo spazio di tutte le complesse combinazioni lineari delle otto stringhe a 3 bit , , , ecc. , Come potremmo usare per rappresentare gli stati di un computer quantistico. Unadorned significa esattamente la stessa cosa: la notazione ket è utile in parte per sottolineare che, ad esempio, è un elemento dello spazio vettoriale di interesse e in parte per la sua carinità in combinazione con notazione del reggiseno . $|\psi\rangle$ $000$ $001$ $010$ $\psi$ $|\psi\rangle$ $|010\rangle$

La notazione del reggisenoindica il doppio vettore o covector - una mappa lineare funzionale o lineare da vettori a scalari, il cui valore in un vettore è il prodotto interno di con , scritto in modo gradevole . Qui assumiamo l'esistenza di un prodotto interno, che non è un dato in spazi vettoriali arbitrari, ma nella fisica quantistica di solito lavoriamo in spazi di Hilbert che per definizione hanno un prodotto interno. Il duale di un vettore è talvolta chiamato anche trasposizione (eremitica) $\langle\psi|$ $|\phi\rangle$ $\psi$ $\phi$ $\langle\psi|\phi\rangle$ , perché nella rappresentazione matriciale, un vettore corrisponde a una colonna e un covector corrisponde a una riga e quando si moltiplica si ottiene uno scalare. (La parte eremitica significa oltre a trasporre la matrice, prendiamo il complesso coniugato delle sue voci — che in realtà sta solo trasponendo ulteriormente la rappresentazione matriciale del complesso numero .) $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$ $\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ $a + b i$

Se scritto nell'altro modo,, ottieni il prodotto esterno di con , definito come la trasformazione lineare dello spazio vettoriale in se stesso data da . Cioè, dato un vettore , ridimensiona il vettore dello scalare dato dal prodotto interno . Poiché le operazioni in questione sono associative, possiamo rimuovere le parentesi e scrivere in modo inequivocabile $|\psi\rangle\langle\phi|$ $\psi$ $\phi$ $|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$ $\theta$ $\psi$ $\langle\phi|\theta\rangle$

(| ψ ⟩ ⟨ ϕ |) | θ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ ϕ | θ ⟩ = ⟨ ϕ | θ ⟩ | ψ ⟩ = (⟨ ϕ | θ ⟩) | ψ ⟩ .

$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$ Le operazioni in questione non sono commutative in generale, tuttavia: l'inversione dell'ordine produce il complesso coniugato , sostituendo con . Potrebbero esserci anche altre trasformazioni degli spazi coinvolti lanciate nel mix, come , che possono essere lette in modo equivalente come precomposizione del funzionale linearedalla trasformazione lineare , applicata al vettore

⟨ ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩^{*}

$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$

a + b i

$a + b i$

a - b i

$a - b i$

⟨ ψ | A | ϕ ⟩

$\langle\psi|A|\phi\rangle$

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

A

$A$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ o come valutazione del funzionale linearepresso il vettore ottenuto dalla recente trasformazione dalla trasformazione lineare .

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

A

$A$

La notazione è usata principalmente nella fisica quantistica; i matematici tendono solo a scrivere dove i fisici potrebbero scrivere ; per il covector; o o per il prodotto interno; e per ciò che i fisici noterebbero con . $\psi$ $|\psi\rangle$ $\psi^*$ $\langle\psi|$ $\langle\psi,\phi\rangle$ $\psi^*\phi$ $\psi^*A\phi$ $\langle\psi|A|\phi\rangle$

— Ossifrage Squeamish
fonte