Perché si verifica una perdita spettrale in una FFT?

Ho provato a cercare su Google e a cercarlo su Wikipedia, ma non ho ottenuto alcuna risposta oltre "è perché la frequenza del segnale di input è compresa tra due bin".

Capisco che questa è la ragione, ma ciò che non riesco a capire è perché la perdita sembra estendersi a più contenitori adiacenti anziché a un solo contenitore adiacente.

Per illustrare di cosa sto parlando, ecco alcuni dati simulati (codice alla fine del post):

Sopra è lo spettro FFT (tracciato su una scala logaritmica) di un'onda sinusoidale di frequenza 10. La frequenza di campionamento è una e il numero di campioni è 100. Il grafico è stato spostato FFT. C'è chiaramente solo un picco nel bin 10, e il resto è nell'ordine dell'errore numerico, o in giro.

Questo è lo spettro di frequenza con una frequenza generata di 10.1. Chiaramente c'è "perdita" in più contenitori oltre al bidone immediatamente adiacente.

Questa è la trama per una frequenza di 10,5.

Domanda: Perché esiste questa perdita e perché si estende a tutti gli altri contenitori, anziché al contenitore adiacente immediato?

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Codice, per chiunque sia interessato (codice Python)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xFreq = 10.5
xSize = 100.0
xPeriod = xSize/xFreq
x = np.linspace(1,xSize,xSize)

data = np.sin(2*np.pi*x/xPeriod)
fft = np.fft.fft(data)
fft = np.fft.fftshift(fft)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(abs(fft), "o")
ax.set_yscale('log')
plt.show()

Ho cambiato il xFreqvalore da 10.0a 10.5, ecc.

Una FFT ha una lunghezza finita e costituisce quindi una finestra rettangolare predefinita su un flusso di dati. Una finestra nel dominio del tempo provoca una convoluzione nel dominio della frequenza con la trasformazione della finestra. Si noti che la trasformazione di una finestra rettangolare è una funzione Sinc (sin (x) / x), che ha una larghezza infinita. Non è solo 2 bidoni di larghezza. Pertanto, le increspature della funzione Sinc appariranno come "perdite" lontano da qualsiasi picco spettrale che non sia perfettamente periodico nella lunghezza della FFT.

L'immagine seguente mostra parte della risposta in frequenza della funzione sinc. Quando il tono è centrato su uno dei bin, tutti gli altri punti sono allineati con i null nella risposta in frequenza. Se non è centrato su un bidone, è come spostare l'intera risposta in frequenza, il che fa cadere gli altri bin su porzioni non nulle della risposta in frequenza.

Un altro modo di vederlo è che un FFT è solo un banco di filtri, in cui ogni piano di banda di arresto del filtro ha molte increspature e non è certamente infinito in attenuazione a più di 1 bin dalla frequenza centrale. Alcune finestre (von Hann, ecc.) Diverse da quelle rettangolari hanno bande di arresto inferiori, motivo per il loro uso popolare.

hotpaw2La risposta è buona, ma vorrei approfondire un po user5133'il commento:

Grazie per NON aver spiegato la perdita dicendo: "La FFT presume che la sua sequenza di input sia periodica". Quella sciocca nozione di "presunta periodicità" è, purtroppo, ripetuta troppo spesso nella letteratura di DSP

e allo stesso tempo rispondi anche alla domanda. Nota che sono un esperto in questo campo --- sentiti libero di commentare, correggere o confermare.

$\mathbb{Z}$$\{1,2,\dots, N\}$

$$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.$$

$N$$N$$\mathbb{Z}$

$${\displaystyle X_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-2\pi ikn/N},\quad k\in \mathbb {Z} \,}$$ $X(2\pi k/N)$$n$$\{1,2,\dots, N\}$$x[n]w[n]$$w$$n\in\{1,\dots,N\}$ e 0 ovunque.

Ma la trasformata di Fourier di un prodotto è la convoluzione delle trasformate di Fourier:

$$\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}$$

$\text{sinc}$

$$\int_{-\infty}^\infty w(f)e^{-j\omega t} dt = \int_{-\tau}^{\tau} e^{-j\omega t}dt =2\tau \text{sinc}(\omega \tau)$$

La convoluzione con a $\text{sinc}$