Densità spettrale di potenza vs densità spettrale di energia

Ho letto quanto segue su Wikipedia :

Densità spettrale di potenza:

La suddetta definizione di densità spettrale di energia è più adatta per transitori , cioè segnali a impulsi, per i quali esistono trasformazioni di Fourier dei segnali . Per segnali continui che descrivono, ad esempio, processi fisici stazionari, ha più senso definire una densità spettrale di potenza (PSD), che descrive come la potenza di un segnale o di una serie temporale sia distribuita sulle diverse frequenze, come nell'esempio semplice dato in precedenza.

Non capisco bene quel paragrafo. La prima parte dice che " per alcuni segnali .. la trasformata di Fourier non esiste ".

Per quali segnali (nel contesto di cui stiamo discutendo) la trasformata di Fourier non esiste, e quindi dobbiamo ricorrere al PSD piuttosto che usare la densità spettrale di energia?
Quando si ottiene la densità spettrale di potenza, perché non è possibile calcolarla direttamente? Perché dobbiamo stimarlo ?
Infine, su questo argomento, ho letto dei metodi che usano Kayser-windows per calcolare il PSD nel tempo. Qual è lo scopo di queste finestre nella stima PSD?

power-spectral-density

— Amelio Vazquez-Reina
fonte

Una breve risposta a una delle tue domande: per un segnale deterministico , puoi calcolare la sua densità spettrale di potenza. Tuttavia, la densità spettrale di potenza è definita anche per processi casuali stazionari di ampio senso . In questo contesto, il PSD è definito come la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione del processo. In quello scenario, in genere non conosci l'esatta funzione di autocorrelazione di un particolare processo casuale che potresti osservare, quindi provi a stimare il suo PSD dalle tue osservazioni.

x (t)

$x(t)$

— Jason R

Un segnale deterministico per il quale è chiamato segnale di energia (finito) e il suo La trasformata di Fourier esiste. Ma se il limite non esiste, la trasformazione di Fourier non deve necessariamente esistere nel senso che è un integrale divergente . Se esiste, il segnale viene chiamato segnale di potenza e il suo La trasformata di Fourier esiste in senso generalizzato (nel senso che gli impulsi sono generalmente coinvolti).

x (t)

$x(t)$

lim_{T \to \infty} \int_{- T}^{T} | X (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft}\,\mathrm dt$

lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} | X (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

— Dilip Sarwate,

Il processo casuale non ha mai fine, fenomeno non periodico, quindi prendere la trasformata di Fourier delle sue realizzazioni non ha senso, neanche possibile. Tuttavia, se il processo casuale è stazionario, allora è certo che ha una certa potenza finita su alcune bande di frequenze. Ora, qui sorge la domanda che come calcolare la potenza di questo processo casuale stazionario, (non è possibile prendere direttamente la trasformazione di Fourier)? Quindi che si fa? troviamo la funzione di auto-correlazione del dato processo casuale, la cui trasformata di Fourier esiste sempre. Infine, prendiamo la trasformata di Fourier di questa funzione di autocorrelazione per ottenere la densità spettrale di potenza del dato processo stazionario.

Se si integra la densità spettrale di potenza di un determinato processo stazionario nell'intervallo compreso tra - e si otterrà la potenza totale contenuta in un determinato processo casuale. $\infty$ $\infty$

— kaka
fonte

Quando hai detto:

"However if random process is stationary, then it is for sure that it has some finite power over some band of frequencies."

- perché? E deve necessariamente essere fermo per avere un potere finito su alcune bande di frequenze?

— Amelio Vazquez-Reina,

I processi stazionari hanno sempre una varianza media e finita finita. Significa che il processo staionario ha sempre un potere finito. Poiché la potenza è finita, ciò significa che la densità spettrale di potenza del processo staionario è limitata su alcune bande di frequenze. (la banda di frequenza può essere infinita).

— Kaka,

Staionary processes have always finite mean and finite variance. It means that staionary process has always finite power.

Questo non è corretto Vedi il secondo paragrafo di questa risposta per un contro-esempio.

— Dilip Sarwate,