Come spostare in modo circolare un segnale di una frazione di un campione?

Il teorema del turno dice :

Moltiplicare per una fase lineare per un numero intero m corrisponde a uno spostamento circolare dell'uscita : viene sostituito da , dove viene interpretato il pedice modulo N (cioè periodicamente).$x_n$ $e^{\frac{2\pi i}{N}n m}$$X_k$$X_k$$X_{k-m}$

Ok, funziona benissimo:

plot a

N = 9
k = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
plot ifft(fft(a)*exp(-1j*2*pi*3*k/N))

Si è spostato di 3 campioni, come mi aspettavo.

Ho pensato che potresti farlo anche per spostare le frazioni di un campione, ma quando lo provo, il mio segnale diventa immaginario e per nulla simile all'originale:

plot real(ifft(fft(a)*exp(-1j*2*pi*3.5*k/N)))
plot imag(ifft(fft(a)*exp(-1j*2*pi*3.5*k/N))), 'b--'

Non me lo aspettavo affatto. Questo non equivale alla convoluzione con un impulso reale che è stato spostato di 3,5 campioni? Quindi l'impulso dovrebbe essere ancora reale e il risultato dovrebbe essere ancora reale? E dovrebbe avere più o meno la stessa forma dell'originale, ma sinceramente interpolato?

Se si desidera che l'uscita spostata dell'IFFT sia reale, la torsione / rotazione di fase nel dominio della frequenza deve essere coniugata simmetrica, così come i dati. Ciò può essere ottenuto aggiungendo un offset adeguato all'esponente del tuo exp () complesso, per la data pendenza di fase, in modo che la fase della metà superiore (o negativa), modulo 2 Pi, rispecchi la metà inferiore nell'apertura FFT . La complessa funzione di spostamento esponenziale può anche essere resa simmetrica coniugata indicizzandola da -N / 2 a N / 2 con una fase di zero all'indice 0.

Accade così che l'offset appropriato per le torsioni o le spirali di fase, che completano un intero esatto multipli di 2 rotazioni di Pi in apertura, per essere coniugato simmetrico in apertura, è zero.

Con un vettore di torsione di fase simmetrica coniugato, il risultato dovrebbe quindi finire come interpolazione Sinc circolare per spostamenti non interi.

Elaborazione tramite OP:

La tua scelta di k = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] sta producendo un esponenziale complesso asimmetrico:

Se usi invece k = [0, 1, 2, 3, 4, -4, -3, -2, -1], otterrai un esponenziale complesso simmetrico di Hermite:

plot(fftshift(exp(-1j * 2*pi * 0.5/N * k)))

e ora quando si utilizza la stessa formula esponenziale per spostare di 0,5 o 3,5 campioni, si ottiene un risultato reale:

plot ifft(fft(a)*exp(-1j * 2 * pi * 0.5/N *k))
plot ifft(fft(a)*exp(-1j * 2 * pi * 3.5/N *k))