Quali sono i vantaggi dell'eventuale campionamento dei derivati?

In Cinque racconti sulla serie cardinale , l'autore fa il seguente commento:$[1]$

È interessante notare che Shannon continua menzionando che altri set di dati possono anche essere usati per determinare il segnale a banda limitata - ad esempio, i valori di ƒ e la sua prima derivata in ogni altro punto di campionamento, i valori di ƒ e il suo primo e secondi derivati ​​ad ogni terzo punto del campione, e così via.

L'articolo menziona alcuni sviluppi storici, ma sono curioso di sapere quali siano le "app killer" per il campionamento di derivati. Va con altri nomi? Ci sono ulteriori generalizzazioni di questo approccio?

Una semplice panoramica o indicazioni su alcuni riferimenti sarebbero fantastici.

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1. JR Higgins, Cinque racconti sulla serie cardinale , Bull. Amer. Matematica. Soc. (NS) 12 (1985), n. 1, 45-89. http://bit.ly/plioNg

Papoulis ha introdotto una generalizzazione del teorema del campionamento [1], di cui l'approccio del campionamento derivato è un caso. L'essenza del teorema, citando da [2] è:

Nel 1977, Papoulis introdusse una potente estensione della teoria del campionamento di Shannon, dimostrando che un segnale a banda limitata poteva essere ricostruito esattamente dai campioni della risposta di sistemi invarianti a spostamento lineare campionati a 1 /$m$$1/m$ alla velocità di ricostruzione.

Forse uno dei motivi per cui è difficile cercare il termine è perché il teorema del campionamento generalizzato di Papoulis è menzionato più spesso del "campionamento derivato". [2] è anche un ottimo articolo che presenta un'ampia panoramica degli approcci di campionamento al momento della pubblicazione. [3], anche dello stesso autore è un'estensione di [1] alla classe di funzioni non bandlimited.

Per quanto riguarda le applicazioni, in un recente documento [4], l'approccio di campionamento derivato viene utilizzato per progettare filtri di ritardo frazionario a banda larga e gli autori mostrano che il campionamento dei derivati ​​provoca errori più piccoli. Dall'abstract:

In questo documento, viene studiato il design del filtro di ritardo frazionario a banda larga. In primo luogo, la formula di ricostruzione del metodo di campionamento dei derivati ​​viene applicata per progettare il filtro del ritardo frazionario a banda larga usando la sostituzione dell'indice e il metodo della finestra. ... Infine, vengono dimostrati esempi numerici per dimostrare che il metodo proposto presenta un errore di progettazione più piccolo rispetto al filtro di ritardo frazionario convenzionale senza campionare la derivata del segnale.

Sebbene ce ne siano sicuramente di più, mi trattengo dal pubblicare più riferimenti e applicazioni per mantenerlo breve (ed evitare che si trasformi in un elenco). Un buon punto per iniziare a cercare sarebbe quello di verificare quali documenti hanno citato [1] - [3] e restringere l'elenco in base all'abstract.

[1]: A. Papoulis, "Espansione del campionamento generalizzata", IEEE Trans. Circuiti e sistemi , vol. 24, n. 11, pagg. 652-654, 1977.

[2]: M. Unser, "Campionamento - 50 anni dopo Shannon", Atti dell'IEEE , vol. 88, num. 4, p. 569-587, 2000

[3]: M. Unser e J. Zerubia, "Una teoria di campionamento generalizzata senza vincoli di limitazione della banda", IEEE Trans. Circuits and Systems II , vol. 45, num. 8, p. 959–969, 1998

[4]: CC Tseng e SL Lee, "Progettazione di filtri differenziali a banda larga con metodo di campionamento derivato", IEEE Trans. Circuiti e sistemi I , vol. 57, num. 8, p. 2087-2098, 2010

Non sono a conoscenza di alcuna applicazione di tale schema di campionamento. In genere è più difficile campionare con precisione la derivata di un segnale rispetto al suo valore istantaneo (i differenziatori sono vulnerabili al rumore ad alta frequenza a causa della loro risposta in frequenza a forma di rampa). Come ha sottolineato Endolith nel commento sopra, se hai abbastanza informazioni nei tuoi campioni discreti per ricostruire il segnale originale, allora puoi calcolare tutti i derivati ​​che desideri.

Questo è un bell'articolo a cui ti sei collegato (non l'avevo mai letto prima), e in effetti la risposta che cerchi è proprio in quell'articolo in §2.3! Ho riprodotto di seguito una parte di §2.3 rilevante.

2.3 Campionamento derivato

Per illustrare una situazione di campionamento pratico, J. Fogel (1955) ha menzionato l'esempio del cruscotto di un pilota di aeroplano, che tradizionalmente consiste di quadranti con puntatori che forniscono informazioni sull'altitudine, l'atteggiamento, la velocità dell'aereo, ecc. I piloti scansionano i loro strumenti , ottenere informazioni da ciascuno di essi su una base approssimativamente periodica. È possibile che anche le informazioni derivate siano disponibili per il pilota; per esempio, l'altimetro verrebbe notato come "svolgitore" a un ritmo allarmante se l'aereo si trovasse in un'immersione al naso! È ipotizzabile che anche l'accelerazione del puntatore possa essere osservata;$r$$f$$[-\pi W,\pi W]$$f'$

$$f(t)=\sum\left\{f\left(\frac{2\pi}{W}\right)+\left(t-\frac{2\pi}{W}\right)f'\left(\frac{2\pi}{W}\right)\right\}\left\{\frac{\sin \pi(Wt-2n)/2}{\pi(Wt-2n)/2}\right\}^2$$

Credo che questa sia ancora un'applicazione molto valida del campionamento di derivati, poiché gli aerei non sono passati di moda. Potrebbero esserci stati molti altri progressi tecnologici (di cui non sono a conoscenza) che potrebbero rendere superfluo l'uso del campionamento di derivati ​​in questi giorni, ma il punto rimane ancora.

LJ Fogel (1955), Una nota sul teorema del campionamento , IRE Trans. Far sapere. Teoria 1 , 47–48

DL Jagerman e LJ Fogel (1956), Alcuni aspetti generali del teorema del campionamento , IEEE Trans. Far sapere. Teoria 2 , 139–156