Il kernel gaussiano discreto è un'autofunzione del DFT?

Quindi la funzione gaussiana è un'autofunzione della trasformata di Fourier perché si trasforma in se stessa, giusto?

Ma questo non è vero per il gaussiano campionato nel DFT perché le code della funzione sono troncate, giusto?

Wikipedia descrive un kernel gaussiano discreto qui e qui , che è diverso dal gaussiano campionato discretamente :

la controparte discreta del gaussiano continuo in quanto soluzione all'equazione di diffusione discreta (spazio discreto, tempo continuo), così come il gaussiano continuo è la soluzione dell'equazione di diffusione continua

Significa che anche DFT si trasforma esattamente in se stesso? Altrimenti, esiste una simile funzione gaussiana simile?

— endolith
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Poiché il DFT è rappresentabile dalla moltiplicazione con la matrice di Fourier, la tua domanda equivale a porre quali sono gli autovettori della matrice di Fourier.

In realtà, Wikipedia fornisce la risposta ( http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform#Eigenvalues_and_eigenvectors ).

Tuttavia, poiché gli autovalori ( ) non sono semplici, gli autovettori non sono univoci (ovvero le combinazioni lineari sono anche autovettori). Inoltre non esiste una semplice formula chiusa. $1, -1, i, -i$

Una formula per un autovettore vicino a ciò che chiedi è fornita da Wikipedia

F_{m} = Σ_{K = - \infty}^{\infty} \exp (- \frac{π \cdot (m + N \cdot K)^{2}}{N}) m = 0, ..., N - 1

$F_m = \sum_{k = -\infty}^\infty \exp\left(-\frac{\pi\cdot(m+N\cdot k)^2}{N}\right) \quad\quad\quad m = 0,\ldots,N-1$

Concludendo, la stessa funzione gaussiana non è un autovettore, ma una somma infinita di gaussiani. La somma infinita può probabilmente essere interpretata come equivalente alla discretizzazione del dominio della frequenza e del tempo quando si passa da FT a DFT. Quindi non è così semplice, come solo troncare il discreto gaussiano.

— Andreas H.
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Ma una somma infinita di gaussiani non è ancora gaussiana?

— TheGrapeBeyond

No, la convoluzione dei gaussiani è ancora gaussiana. La somma è gaussiana solo se hanno la stessa posizione e larghezza. Questa funzione qui è in realtà un periodo di un discreto treno di impulsi gaussiano. Quindi non sembra nemmeno un gaussiano.

— Andreas H.

Ah, capisco. In altre parole, questa somma è essenzialmente un treno gaussiano composto da gaussiani della stessa varianza ma con mezzi diversi?

— TheGrapeBeyond

Esattamente. I mezzi sono distanziati esattamente da N, la lunghezza del DFT.

— Andreas H.

Ah, affascinante. Un'ultima cosa, questo è un vettore di lunghezza infinita, il che significa che la matrice DFT è anche di lunghezza infinita, no?

— TheGrapeBeyond