Domanda sulla matrice di covarianza di 2 segnali spaziali

Ogni volta che penso di aver compreso la matrice della covarianza, qualcun altro si presenta con una formulazione diversa.

Attualmente sto leggendo questo documento:

J. Benesty, "Algoritmo adattativo di decomposizione degli autovalori per la localizzazione di sorgenti acustiche passive" , J. Acoust. Soc. Am. Volume 107 , Numero 1, pagg. 384-391 (2000)

e mi sono imbattuto in una formulazione che non capisco bene. Qui, l'autore sta costruendo la matrice di covarianza tra due segnali, $x_1$ e $x_2$ . Questi due segnali provengono da sensori diversi.

Per la matrice di covarianza di un segnale, so che possiamo ottenerlo calcolando la matrice di regressione e quindi moltiplicandola per l'eremita di quella stessa matrice e dividendo per $N$ , la lunghezza del vettore originale. La dimensione della matrice di covarianza qui può essere arbitraria, con dimensione massima essendo $N\times N$ .

Per la matrice di covarianza di due segnali spaziali, se posizioniamo il primo segnale nella prima riga e il secondo segnale nella seconda riga di una matrice, quindi moltiplichiamo per il suo eremita e dividiamo anche per , quindi otteniamo un matrici di covarianza di entrambi i segnali spaziali.$N$$2\times 2$

Tuttavia, in questo documento, l'autore calcola quelle che sembrano quattro matricole, e , quindi le inserisce in una super matrice e chiama quella matrice di covarianza .$R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$$R_2{}_2$

Perché è così? Ecco un'immagine del testo:

Se hai due vettori di segnale e x 2 [ n ] ciascuno di N elementi, allora possiamo considerare due cose diverse.$x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. Come si confrontano le quantità ? In particolare, quando i segnali sono rumorosi e i rumori possono essere considerati congiuntamente stazionari (o stazionari di senso comune), queste quantità possono essere utilizzate per stimare le varianze di rumore nei due segnali nonché la covarianza dei rumori a qualsiasi tempo di campionamento fisso. Questo è ciò che ottieni dal 2 × $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$ matrice di covarianza Il rumore in x 1 [ n ] ha varianza σ 2 1 = R 1 , 1 che potrebbe essere diversa da R 2 , 2 = σ 2 2 , la varianza del rumore in x 2 [ n ] . Ma i rumori sono correlati con la covarianza R

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$$R_{2,2} = \sigma_2^2$$x_2[n]$ . Ora, se pensiamo di fare le cose proprio con quello che succede in n , ignorando tutto ciò che potrebbe accadere in n - 1 o n + 1 ecc., Allora queste sono tutte le informazioni di cui abbiamo bisogno.$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. A meno che non si sappia che il rumore sia (o si presume che sia) rumore bianco in modo che i campioni di rumore provenienti da diversi istanti di campionamento siano indipendenti (e quindi non correlati) o semplicemente assumiamo campioni di rumore non correlati, ci sono informazioni che stiamo ignorando non considerando la correlazione tra e x 1 [ m ] , campioni dello stesso processo in tempi o posizioni diverse e la correlazione tra x 1 [ n ] e x 2 [ m $x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$, campioni dei due processi in momenti o luoghi diversi. Queste informazioni aggiuntive potrebbero portare a una stima / soluzione migliore. Ora abbiamo un totale di campioni di rumore, e quindi una matrice di covarianza 2 N × 2 N da considerare. Se disponiamo le cose come hanno fatto gli autori, abbiamo R pieno = E [ X X T ] dove X = ( x 1 [ 1 ] , x 1 [ 2 ] , … , x 1$2N$$2N \times 2N$$R_{\text{full}} = E[XX^T]$ e così R pieno = [ R x 1 , x 1 R x 1 , x 2 R x 2 , x 1 R x 2

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ doveRxi,xj=E[xixTj]. Si noti cheRxi,xjè, in sostanza, la funzione dicorrelazione incrociatadi(xi[1],xi[2],…,xi[N]) e(xj[ $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$ se i ≠ j e la funzione diautocorrelazionese i = j . Se i processi di rumore sono bianchi e non correlati tranne quando n = m , allora R pieno → R semplice = [ σ 2 1 I C I C I σ 2 2 I ] dove$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ è lamatrice di identità N × N e σ 2 1 , σ 2 2 e C sono come definiti nell'articolo 1 sopra. Quanto realistico possa essere questo modello di rumore è qualcosa che l'utente finale può determinare. Se il modelloèrealistico, allora non si guadagna nulla, cercando al 2 N × 2 N matrice R completa in quanto tutte le informazioni sono lì in 2 × 2 matrice R 2 × $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$2\times 2$$R_{2\times 2}$dell'articolo 1 sopra. Idem se il modello non è realistico ma non intendiamo (o non siamo in grado di) utilizzare tutte le informazioni nella matrice piena R ; ci accontenteremo di solo σ 2 1 , σ 2 2 e C della Parte 1 per i quali non abbiamo bisogno di R pieno o R semplice , solo R 2 × 2 .$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$