Quando utilizzare il DTFT contro il DFT (e i loro inversi) in analisi?

In molte delle mie letture, ogni volta che un autore parla di lavorare nel dominio della frequenza (trasformazione) (di un segnale digitale), spesso prende il DFT, o il DTFT, (e ovviamente i loro corrispondenti inversioni). Autori diversi tenderanno a lavorare con l'uno o l'altro.

Non sono stato in grado di accertare davvero un modello particolare al riguardo. In questo, perché dovresti scegliere il DTFT rispetto al DFT o viceversa nella spiegazione degli algoritmi? Dove ti aiuta l'uno rispetto all'altro?

fft fourier-transform dft

— TheGrapeBeyond
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Il DTFT può essere usato quando i campioni non sono equamente distanziati nel tempo, il DFT no.

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate Ahh buon punto.

— TheGrapeBeyond

Risposte:

DFT e DTFT sono ovviamente simili in quanto generano entrambi lo spettro di quattro segnali discreti nel tempo. Tuttavia, mentre il DTFT è definito per elaborare un segnale infinitamente lungo (somma da -infinito all'infinito), il DFT è definito per elaborare un segnale periodico (la parte periodica è di lunghezza finita).

Sappiamo che il numero di bin di frequenza nel tuo spettro è sempre uguale al numero di campioni elaborati, quindi questo dà anche una differenza negli spettri che producono: lo spettro DFT è discreto mentre lo spettro DTFT è continuo (ma entrambi sono periodici con rispetto alla frequenza di Nyquist).

Poiché è impossibile elaborare un numero infinito di campioni, il DTFT è di minore importanza per l'elaborazione computazionale effettiva; esiste principalmente per scopi analitici.

Il DFT tuttavia, con la sua lunghezza vettoriale di input finita, è perfettamente adatto per l'elaborazione. Il fatto che il segnale di ingresso dovrebbe essere un estratto di un segnale periodico viene tuttavia ignorato per la maggior parte del tempo: quando si trasforma uno spettro DFT di nuovo nel dominio del tempo, si ottiene lo stesso segnale di cui si è calcolato lo spettro il primo posto.

Quindi, anche se non ha importanza per i calcoli, dovresti notare che ciò che stai vedendo non è lo spettro reale del tuo segnale . È lo spettro di un segnale teorico che otterresti se ripetessi periodicamente il vettore di input.

Quindi suppongo che nella letteratura che stavi citando, ogni volta che è importante che lo spettro con cui stai lavorando sia in realtà lo spettro e ignorando il lato di calcolo delle cose, l'autore sceglierebbe il DTFT.

— Nils Werner
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Quindi, se un segnale non è mai realisticamente di lunghezza infinita, allora perché analizzare usando il DTFT allora in molti articoli che vedo? C'è una sorta di facilità o qualcosa che ne deriva?

— TheGrapeBeyond

Più correttezza matematica che facilità. Vale a dire quando si scrive una prova matematica per segnali non periodici non si ha altra scelta che assumere che il segnale sia di lunghezza infinita perché è così che funziona la trasformazione di Fourier (sia discreta che continua).

— Nils Werner,

Non sto cercando di essere difficile, ma se supponiamo sempre che il segnale sia periodico e il DTFT sia matematicamente più corretto, allora perché usare il DFT in analisi? Perché usare l'uno sopra l'altro è quello che sto cercando di ottenere quando analizzo gli algoritmi?

— TheGrapeBeyond,

Quando vuoi pensare di trasformare segnali a tempo limitato devi pensare al tuo segnale infinito come moltiplicato per una "funzione finestra", ritagliando efficacemente la parte che ti interessa. Il caso più semplice sarebbe una funzione rettangolare; tuttavia, questa funzione della finestra deve essere trasformata e quindi coinvolta anche nel segnale. Ciò provoca sbavature e il cosiddetto effetto di perdita.

— Nils Werner,

Quando utilizzare il DFT in analisi. La mia ipotesi è che dal lato matematico si desideri utilizzare il DTFT perché non è necessario tenere conto degli artefatti e una volta che si scende al livello software, si passa al DFT con tutti i problemi che comporta.

— Nils Werner,

Il DTFT viene utilizzato quando la matematica per dimostrare un certo punto è più semplice (risparmia su carta e / o gesso) quando si assume un numero infinito di campioni. Significa che in realtà è inutile nel mondo reale (sarai morto molto prima di scoprire di avere abbastanza campioni).

Il DFT è quando si sceglie un utile numero finito di campioni con cui lavorare (dandoti una bella matrice quadrata di dimensioni finite moltiplicare esattamente l'equivalente), indipendentemente dal fatto che siano periodici (supponendo che la periodicità della lunghezza del telaio sia un'altra delusione nelle menti di alcune persone per rendere di nuovo la matematica più trattabile). L'uso di un DFT di solito implica quindi una finestra (rettangolare, se non qualcos'altro) che non è necessaria nel DTFT. Questa finestra presenta a volte cattivi artefatti, nonché l'evidente perdita di informazioni sul segnale fuori dalla finestra, che è un aspetto negativo del DFT.

— hotpaw2
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+1 ma puoi approfondire il motivo per cui la periodicità implicita di DFT è un delirio?

— Deve il

L'assunto non è coerente con i dati effettivi al di fuori della finestra DFT in molti usi comuni (audio, ecc.)

— hotpaw2

Ti ho votato a fondo, ma perché dici che è un delirio che il DFT ritenga che i dati siano periodici? Se lo faccio una domanda, potresti rispondere?

— TheGrapeBeyond

Potrebbe essere una buona domanda per i siti di scambio di matematica, inglese, psicologia o stack di filosofia. Le funzioni dell'operatore antropomorfizzante possono essere un comportamento umano interessante.

— hotpaw2

-2

$-\infty$ $+\infty$

— ayushi
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