Stimare i coefficienti della serie di Taylor dai campioni di una funzione

10

Supponiamo che io abbia misurazioni di una funzione , campionate in con un po 'di rumore, che potrebbero essere approssimate da un'espansione della serie di Taylor. Esiste un modo accettato per stimare i coefficienti di tale espansione dalle mie misurazioni? $y = y(x)$ $x_i$

Potrei adattare i dati a un polinomio, ma non è del tutto corretto, perché per una serie di Taylor l'approssimazione dovrebbe migliorare quanto più ti avvicini a un punto centrale, diciamo x = 0. Il semplice adattamento di un polinomio tratta equamente ogni punto.

Potrei anche stimare i vari ordini di derivati nel mio punto di espansione, ma poi devo prendere decisioni su quali filtri di differenziazione usare e quanti coefficienti di filtro per ciascuno. I filtri per i diversi derivati dovrebbero adattarsi in qualche modo?

Qualcuno sa di metodi consolidati per questo? Spiegazioni o riferimenti a documenti sarebbero apprezzati.

UNA PRECISAZIONE

In risposta al commento qui sotto, il mio campionamento è una finestra rettangolare da una funzione infinita, che non è necessariamente limitata dalla banda ma non ha forti componenti ad alta frequenza. Per essere più specifici, sto misurando la varianza di uno stimatore (misurando lo spostamento in un segnale medico ad ultrasuoni) in funzione di un parametro dello stimatore (il livello di deformazione o deformazione del tessuto sottostante). Ho una serie teorica di Taylor per la varianza in funzione della deformazione e vorrei confrontarla con ciò che ottengo dalla simulazione.

Un esempio di giocattolo simile potrebbe essere: supponiamo che tu abbia una funzione come ln (x), campionata ad intervalli in x con qualche rumore aggiunto. Non sai quale funzione sia realmente e vuoi stimare le sue serie di Taylor attorno a x = 5. Quindi la funzione è fluida e varia lentamente per una regione attorno al punto che ti interessa (diciamo 2 <x <8), ma non è necessariamente piacevole al di fuori della regione.

Le risposte sono state utili e una sorta di adattamento polinomiale dei minimi quadrati è probabilmente la strada da percorrere. Ciò che renderebbe una serie di Taylor stimata diversa da un normale adattamento polinomiale, tuttavia, è che dovresti essere in grado di radere via termini di ordine superiore e avere il polinomio ancora approssimativo della funzione originale, appena all'interno di un intervallo più piccolo rispetto al punto iniziale.

Quindi forse l'approccio sarebbe quello di fare un adattamento polinomiale lineare usando solo dati vicini al punto iniziale, seguito da un adattamento quadratico con un po 'più di dati, cubico usando un po' più di quello, ecc.

noise estimators approximation

— opaco
fonte

Alcune domande (che possono essere o non essere rilevanti): Per campionamento, intendi che la funzione è / era limitata dalla banda al di sotto di alcune frequenze Fs / 2? I tuoi campioni sono una finestra rettangolare di una funzione infinita, una funzione ripetitiva o la funzione completa?

— hotpaw2,

y (x)

$y(x)$

8

$(x_i,y_i)$

$y_i$ $y = f(x)$ $x_i$ $i = 0, 1, \ldots , N$ $M \le N$ $M = N$ $N$ $M$ $p_k$

y_{i} = p_{M} x_{i}^{M} + p_{M - 1} x_{i}^{M - 1} + \dots + p_{1} x_{i} + p_{0}, i = 0, 1, \dots, N

$y_i = p_Mx_i^M + p_{M-1}x_i^{M-1} + \ldots + p_1x_i + p_0, \;\;\;\;\;i = 0, 1, \ldots , N$

Il problema dei minimi quadrati può essere risolto disponendo le misure in forma di matrice vettoriale:

A = [\begin{array}{cc} x_{0}^{M} & x_{0}^{M - 1} & \dots & x_{0} & 1 \\ x_{1}^{M} & x_{1}^{M - 1} & \dots & x_{1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{N}^{M} & x_{N}^{M - 1} & \dots & x_{N} & 1 \end{array}], y = [\begin{array}{cc} y_{0} \\ y_{1} \\ ⋮ \\ y_{N} \end{array}]

$\mathbf{A} = \left [ {\begin{array}{cc} x_0^M & x_0^{M-1} & \cdots & x_0 & 1 \\ x_1^M & x_1^{M-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_N^M & x_N^{M-1} & \cdots & x_N & 1 \end{array} } \right ], \;\;\mathbf{y}= \left [ {\begin{array}{cc} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_N \end{array} } \right ]$

$\left[p_M, p_{M-1}, \ldots , p_0\right]$

\tilde{p} = (A^{T} A)^{- 1} A^{T} y

$\mathbf{\tilde p} = (\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^Ty}$

$(\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^T}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{\tilde p}$ $x$

— Jason R
fonte

1

Nel caso delle ascisse equisperse, questo non è diverso dall'applicazione del livellamento di Savitzky-Golay sui dati.

Più 1 per una bella risposta. LSE è davvero molto onnipresente.

— Tarin Ziyaee,

6

Ignora il rumore per ora.

$n+1$ $(x_i,y_i)$ $x_i$ $f(x)$ $n$ $y=g(x)$ $g(x)$ $e^x$ $(x+a)/(x+b)$ $g(x)$ $g(x)$ $x=0$ $g(0)$ $g^{(k)}(x) = \frac{\mathrm d^kg(x)}{\mathrm dx^k}, k=1,2,\ldots$ $x=0$ $g(x)$ $n+1$ $x_i$ $x_i = 0$ $i$ $g(0)$ $g^{(k)}(0)$ $k=1, 2, \ldots$

$g(x)$ $x=0$ $g(x_i)$ $h(x)=\sum_k h_kx^k$ $g^{(k)}(0)$ $h^{(k)}(0) = k!h_k$

$n+1$ $(x_i,g(x_i))$ $g(x)$ $g(x)$ $n$ $h(x)$ $n+1$

$x_i$ $0$ $x_i$ $m < n$ $x=0$ $0$ $0$ $0$

$3$ $(-1,y_{-1}), (0,y_0), (1,y_1)$

\begin{aligned} f (x) & = y_{- 1} \frac{x (x - 1)}{2} - y_{0} (x^{2} - 1) + y_{1} \frac{x (x + 1)}{2} \\ = y_{0} + \frac{y_{1} - y_{- 1}}{2} x + \frac{y_{1} - 2 y_{0} + y_{- 1}}{2} x^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} f(x) &= y_{-1}\frac{x(x-1)}{2} -y_0(x^2-1) + y_{1}\frac{x(x+1)}{2}\\ &= y_0 + \frac{y_1-y_{-1}}{2}x + \frac{y_1-2y_0 + y_{-1}}{2}x^2 \end{align*}$

x

$x$

x^{2}

$x^2$

g (x)

$g(x)$

g (- 1) = y_{- 1}, g (0) = y_{0}, g (1) = y_{1}

$g(-1) = y_{-1}, g(0) = y_0, g(1)=y_1$

— Dilip Sarwate
fonte