Interpretazione intuitiva della trasformata di Laplace

Quindi mi sto cimentando con le trasformate di Fourier. Intuitivamente ora capisco perfettamente cosa fa e seguirò presto alcune lezioni di matematica (quindi l'argomento attuale). Ma poi continuo a leggere sulla trasformazione del posto e lì perdo un po '. Qual è il momento di un segnale? Perché la trasformata di Fourier è un caso speciale della trasformazione laplace? Come posso fare i conti con la trasformazione di Laplace?

Ho esaminato queste fonti prima di porre questa domanda:

Cosa si intende per "risposta all'impulso" e "risposta in frequenza" di un sistema?

Come distinguere tra i diversi domini di frequenza?

Ampiezza vs risposta in frequenza

Perché la trasformata di Fourier è così importante?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Se hai una comprensione delle trasformazioni di Fourier, probabilmente hai già un modello concettuale di trasformazione dei segnali nel dominio della frequenza. La trasformata di Laplace fornisce una rappresentazione alternativa del dominio di frequenza del segnale - di solito indicato come "dominio S" per differenziarlo da altre trasformazioni del dominio di frequenza (come la trasformata Z - che è essenzialmente un equivalente descrittivo della trasformata di Laplace).

Qual è il momento di un segnale?

Come sicuramente saprai, la trasformata di Laplace ci fornisce una descrizione di un segnale dai suoi momenti, simile a come la trasformata di Fourier ci fornisce una descrizione per fase e ampiezza.

In linea di massima un momento può essere considerato come un campione diverge dal valore medio di un segnale - il primo momento è in realtà la media, il secondo è la varianza ecc ... (questi sono noti collettivamente come "momenti di una distribuzione")

Data la nostra funzione F (t) possiamo calcolare l'ennesima derivata in t = 0 per dare il nostro n-esimo momento. Proprio come un segnale può essere descritto completamente usando fase e ampiezza, può essere completamente descritto da tutti i suoi derivati.

Perché la trasformata di Fourier è un caso speciale della trasformazione laplace?

Se osserviamo la trasformazione bilaterale laplace:

Dovrebbe essere abbastanza evidente che una sostituzione produrrà la familiare equazione della trasformata di Fourier:$s=i\omega$

Ci sono alcune note su questa relazione ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ) ma la matematica dovrebbe essere abbastanza trasparente.

Perché la trasformata di Fourier è un caso speciale della trasformazione laplace?

La trasformata di Laplace produce una superficie 2D di valori complessi, mentre la trasformata di Fourier produce una linea 1D di valori complessi. La trasformazione di Fourier è ciò che ottieni quando tagli la trasformazione di Laplace lungo l'asse jω. Ad esempio, un semplice filtro passa basso ha un singolo polo nel piano S a sinistra dell'origine:$H(s)=\frac{1}{s+1}$

Vista di lato, la grandezza di questa trasformata di Laplace forma una superficie, con il polo che agisce come un palo di tenda che aumenta l'ampiezza all'infinito in quel punto (e uno zero implicito all'infinito che rilascia l'ampiezza per azzerare il più lontano dal origine si ottiene in qualsiasi direzione):

Se ora prendi il valore della superficie solo lungo l'asse jω, questa è la trasformata di Fourier. È la curva rossa nell'immagine sopra, che puoi vedere forma un filtro passa-basso. Se si sposta il palo più lontano dall'origine, la tenda si sposterà nella stessa direzione e la fetta lungo l'asse jω diminuirà, riducendo sia il guadagno (che compensiamo aggiungendo il guadagno complessivo) sia aumentando la frequenza di taglio. Ho intenzione di realizzare alcune animazioni di cose come questa ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

La migliore descrizione intuitiva della trasformazione di Laplace che abbia mai visto:

A prima vista, sembrerebbe che la strategia della trasformata di Laplace sia la stessa della trasformata di Fourier: correlare il segnale nel dominio del tempo con una serie di funzioni di base per scomporre la forma d'onda. Non vero! Anche se la matematica è più o meno la stessa, la logica alla base delle due tecniche è molto diversa.

La trasformata di Laplace può essere vista come sondare la risposta all'impulso del sistema con vari sinusoidi in decomposizione esponenziale. Le forme d'onda di sondaggio che producono una cancellazione sono chiamate poli e zeri.

Questo ci consente invece di descrivere la risposta in frequenza per ogni utilizza un piccolo set di punti funzione che determinano il comportamento di un sistema in tutti gli altri punti (inclusa la parte di -plane che è una risposta in frequenza).s s = j $\omega$$s$$s=j\omega$

C'è una bella analogia per questo in un libro:

Ora, pensa a come comprendi il rapporto tra altezza e distanza lungo il percorso del treno, rispetto a quello del conduttore. Dato che hai misurato direttamente l'elevazione lungo la strada, puoi giustamente affermare di sapere tutto sulla relazione. In confronto, il conduttore conosce queste stesse informazioni complete, ma in una forma più semplice e intuitiva: la posizione delle colline e delle valli che causano i tuffi e le buche lungo il percorso. Mentre la descrizione del segnale potrebbe consistere in migliaia di misurazioni individuali, la descrizione del segnale del conduttore conterrà solo alcuni parametri.