Derivando la trasformata di Fourier di coseno e seno

In questa risposta, Jim Clay scrive:

... usa il fatto che $\mathcal F\{\cos(x)\} = \frac{\delta(w - 1) + \delta(w + 1)}{2}$ ...

L'espressione sopra non è troppo diversa da $\mathcal F\{{\cos(2\pi f_0t)\}=\frac{1}{2}(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))}$.

Ho cercato di ottenere l'espressione successiva usando la definizione standard della trasformata di Fourier $X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ ma tutto quello con cui finisco è un'espressione così diversa da quella che apparentemente è la risposta.

Ecco il mio lavoro:

$$\begin{align} x(t)&=\cos(2\pi f_0t)\\ \Longrightarrow \mathcal F\left\{x(t)\right\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(2\pi f_0t)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac 12 \left(e^{-j2\pi f_0t}+e^{j2\pi f_0t}\right)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}+e^{j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t\left(f_0+f\right)}+e^{-j2\pi t\left(f-f_0\right)}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f_0+f)}\right)dt+\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f-f_0)}\right)\right) dt \end{align}$$

Questo è dove sono bloccato.

Il tuo lavoro è OK, tranne per il problema di cui la trasformata di Fourier $\cos(2\pi f_0 t)$non esiste nel solito senso di una funzione di$f$e dobbiamo estendere il concetto per includere quelle che sono chiamate distribuzioni, o impulsi, o Dirac delta o (come faremo noi ingegneri, con grande disgusto dei matematici) funzioni delta . Leggi le condizioni che devono essere soddisfatte per la trasformazione di Fourier$X(f)$ del segnale $x(t)$ esistere (nel solito senso) e lo vedrai $\cos(2\pi f_0 t)$ non ha una trasformata di Fourier nel solito senso.

Passando alla tua domanda specifica, una volta compreso che gli impulsi sono definiti solo in termini di come si comportano come integrandi in un integrale, ovvero per $a < x_0 < b$,

$$\int_{a}^{b} \delta(x-x_0)g(x)\,\mathrm dx = g(x_0)$$ purché $g(x)$ è continuo a $x_0$, quindi è più facile dedurre la trasformata di Fourier di $$\cos(2\pi f_0 t) = \left.\left.\frac{1}{2}\right[e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}\right]$$ meditando sul fatto che $$\int_{-\infty}^\infty \delta(f-f_0)e^{j2\pi ft}\,\mathrm df = e^{j2\pi f_0t}$$ e così deve essere quello $\cos(2\pi f_0 t)$è la trasformata inversa di Fourier di$\displaystyle \left.\left.\frac{1}{2}\right[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)\right]$.

Quindi basta usare una tabella di coppie di trasformate di Fourier per vederlo$\delta(t) \leftrightarrow 1$e sostituzione variabile ($f_1 = f+f_0$ e $f_2 = f-f_0$), per ottenere ciò di cui hai bisogno.