Nel caso della modulazione lineare sul canale AWGN con simboli equiprobabili (un caso molto comune), l'approccio ottimale consiste nell'utilizzare veramente un filtro che è adattato alla forma d'onda del simbolo, ovvero:
q(x)=p(x)
L'uso di un filtro abbinato fornisce il rapporto segnale-rumore ottimale all'uscita del filtro ad ogni istante di decisione. Questo è facile da vedere quando ricordi che un filtro abbinato si comporta come un correlatore incrociato scorrevole tra il suo segnale di input e la forma d'onda del simbolo atteso, correlando i due ritardi possibili. A istanti di decisione ottimali, la risposta all'impulso del filtro (tipicamente ridimensionata per avere energia unitaria) si allinea esattamente con un simbolo trasmesso, analogo a una condizione di ritardo zero sull'operazione di correlazione incrociata. A questo valore temporale, l'uscita del filtro è uguale alla quantità di energia nel simbolo ricevuto, ridimensionata in base a un fattore dipendente dai dati (ad es. Per BPSK, il filtro abbinato produrrebbe o ), più un termine di rumore.Es−Es
L'energia del rumore all'uscita del filtro durante l'istante di campionamento non dipende dalla forma del dominio del tempo della risposta all'impulso del filtro, ma solo dall'energia totale della risposta all'impulso (come notato precedentemente, tipicamente unità). Pertanto, il rapporto segnale-rumore viene massimizzato massimizzando la quantità di energia del segnale nell'uscita del filtro nell'istante di campionamento. Scegliendo il filtro del ricevitore da abbinare alla forma del simbolo, lo abbiamo fatto, poiché la forma d'onda del simbolo ha la massima correlazione con una risposta all'impulso del filtro che ha una forma identica. Pertanto, il filtro abbinato fornisce il massimo SNR, per il caso del canale AWGN.
Con quell'attitudine di sventolare la mano (puoi sicuramente farlo con più rigore matematico, ma io sono un ingegnere e questo è un servizio gratuito; se vuoi scavare nei dettagli, controlla qualsiasi teoria della comunicazione digitale testo), potresti pensare che ho dimenticato che mi hai chiesto del caso ISI non ideale. Non temere, poiché asserisco che se si conosce la forma dell'impulso trasmesso, il filtro abbinato è ancora la scelta ottimale per il canale AWGN.
La chiave: se si conoscono le risposte dei filtri di modellatura degli impulsi e di rilevazione del ricevitore e e gli ultimi "pochi" simboli trasmessi, è possibile calcolare quale sarebbe l'ISI indotta da quei simboli precedenti e spiegarlo di conseguenzap(x)q(x) ; è una quantità deterministica. La quantità di cronologia dei simboli richiesta è correlata alla quantità di ISI che hai, ovvero a quanti periodi di simboli attraversa la risposta del filtro in cascata.
Naturalmente, in genere non si sa con certezza quali fossero i pochi simboli precedenti; se lo facessi, potresti essere a un SNR abbastanza alto da poter trascurare il tuo ISI. Nel caso più interessante, non puoi fare questa ipotesi. Invece, viene utilizzato un approccio di rilevamento della sequenza con la massima probabilità utilizzando l'algoritmo di Viterbi. Questo processo viene chiamato equalizzazione di Viterbi , perché in questo modello trattate l'ISI indotta dalla forma dell'impulso come un codice convoluzionale a valore morbido che viene applicato alla vostra forma d'onda di trasmissione. La durata temporale dell'ISI nell'equalizzatore di Viterbi definisce il numero richiesto di stati dell'algoritmo, simile alla lunghezza del vincolo in un codice convoluzionale.
Questo approccio viene spesso utilizzato nei sistemi che hanno la forma dell'impulso non ottimale che hai notato; un esempio notevole è il GSM (che utilizza una forma di impulso gaussiana che si estende su più intervalli di simboli). Un grande riferimento su questo argomento è stato pubblicato da Sklar nel 2003:
B. Sklar, "Come ho imparato ad amare il traliccio", IEEE Signal Processing Magazine, pp. 87-102, maggio 2003