Gli esponenziali complessi sono le uniche autofunzioni dei sistemi LTI?


Risposte:


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Tutte le autofunzioni di un sistema LTI possono essere descritte in termini di esponenziali complessi e gli esponenziali complessi formano una base completa dello spazio del segnale. Tuttavia, se si dispone di un sistema che è degenerato , nel senso che si hanno autovasi di dimensione> 1, gli autovettori al corrispondente autovalore sono tutti una combinazione lineare di vettori dal sottospazio. E le combinazioni lineari di esponenziali complessi di frequenze diverse non sono più esponenziali complessi.

Esempio molto semplice: l'operatore di identità 1 come sistema LTI ha l'intero spazio del segnale come autospazio con autovalore 1. Ciò implica che TUTTE le funzioni sono autofunzioni.


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Tranne la funzione nulla ovviamente :) Stavo solo scherzando
Laurent Duval il

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Pensavo di aver espresso chiaramente la mia risposta --- apparentemente no :-). La domanda originale era: "Esistono elementi distintivi oltre al complesso esponenziale per un sistema LTI?". La risposta è, se si dà il fatto che il sistema è LTI ma nient'altro è noto, allora l'unico segno distintivo è il complesso esponenziale. In casi specifici, il sistema può avere anche segnali digitali aggiuntivi. L'esempio che ho dato è stato l'LPF ideale, essendo sinceramente così originale. Si noti che la funzione sinc non è un segno distintivo di un sistema LTI arbitrario. Ho dato l'LPF e il sinc come esempio per indicare un caso non banale --- x (t) = y (t) soddisferà un matematico ma non un ingegnere: ->. Sono sicuro che si possano trovare altri esempi non banali specifici che hanno altri segnali come segnali autonome oltre al complesso esponenziale.

Inoltre, cos e sin non sono, in generale, autogegnali. Se viene applicato cos (wt) e l'output è A cos (wt + theta), allora questo output non può essere espresso come costante per l'input (tranne quando theta è 0 o pi, o A = 0), che è la condizione necessario per un segnale per essere un segnale elettronico. Ci possono essere condizioni in cui cos e sin sono segnali di autogestione, ma sono casi speciali e non generali.

CSR


Sei sicuro di aver compreso il mio commento all'altra tua risposta? Il punto è che per i sistemi LTI reali si prevede che abbia un vero seno in quanto autogestione. Ciò non significa che tutti i seni di tutte le frequenze siano eigensignali. Ho specificato in modo preciso la condizione per la quale sono tali e ho spiegato perché tale condizione è soddisfatta dalla maggior parte dei sistemi LTI.
Jazzmaniac,

Inoltre, non dimenticare che hai modificato la tua risposta per cambiarne un po 'il significato. Il passaggio da "Per una funzione di trasferimento razionale non ci sono altri segnali personali" a "Per i sistemi arbitrari non ci sono segnali di autigeni generali oltre a ..." è piuttosto grande. Quindi metterlo come se la gente non capisse correttamente la tua risposta è un po 'troppo.
Jazzmaniac,

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Per qualsiasi sistema LTI arbitrario, il complesso esponenziale è, per quanto ne sappia, l'unico eigensignal conosciuto. D'altra parte, considera l'LPF ideale. La funzione : può essere facilmente vista come un segnale autigenico. Ciò indica l'esistenza di sistemi LTI (come l'ideale LPF) che hanno segnali diversi da esponenziali complessi come segnali di autigeni ( in questo caso).sinc sin(πt)

sinc(t)sin(πt)πt
sin(πt)πt

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È piuttosto il contrario: la regola è che i sistemi LTI hanno eigensubspazi degenerati e quindi autovettori che non sono esponenziali complessi. Prendi in considerazione un sistema con output reale. Quindi , il che significa che se è reale e , allora hai già un eigensubspace bidimensionale e il seno reale è un autovettore. Ciò significa che qualsiasi sistema LTI che ha una risposta di fase che diventa un multiplo di per qualifica. Questa è la regola piuttosto che l'eccezione. H ( ω ) ω 0 πH(ω)=H(ω)H(ω)ω0πω0
Jazzmaniac,

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in realtà, qualsiasi esponenziale puro è un'autofunzione per un sistema LTI. se non ti dispiace gestire quantità che si avvicinano rapidamente a , allora non c'è alcun requisito teorico che l'esponente sia complesso o reale.
Robert Bristow-Johnson

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so di aver modificato la tua risposta (per renderla più chiara e più corretta con la semantica), ma la tua risposta è errata. non è una funzione generale per un sistema LTI generale. esso è un'autofunzione per specifica LTI che hanno ma non per altri. H(f)=1
sinc(t)sin(πt)πt
H(f)=1|f|<12
Robert Bristow-Johnson

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evidentemente "se non ti dispiace trattare con quantità che si avvicinano rapidamente ∞" non è lo stesso di "lo spazio del segnale che di solito è considerato ... lo spazio di Hilbert truccato di funzioni quadrate integrabili". tutto ciò che sto dicendo è che se è il tuo input, allora è il tuo output (dove è il Laplace trasformazione della risposta all'impulso LTI ). mi sembra un'autofunzione. ma hai ragione sulle specifiche CSR. y ( t ) = H ( s ) x ( t ) H ( s ) h (
x(t)=est
y(t)=H(s)x(t)
H(s)h(t)
robert bristow-johnson il

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@ Fat32, richiedere uno spazio funzionale ben educato non riguarda la stabilità ed è tutt'altro che superfluo o arbitrario. La maggior parte dei risultati utili nella teoria dell'elaborazione del segnale si basa su spazi del segnale ben educati. Particolarmente utile è il teorema spettrale ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ), e questo teorema richiede determinati spazi funzionali, di cui è una scelta possibile. Se vuoi applicare questo quadro matematico (e fidati di me, lo vuoi), allora non puoi accettare i segnali che proponi come segnali digitali. L2
Jazzmaniac,

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Forse oggetti multidimensionali spazialmente invarianti come lenti con simmetria circolare. Si chiama espansione di Fourier Bessel. Non c'è T per il tempo ma valgono le relazioni del dominio della frequenza di convoluzione

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