Gli esponenziali complessi sono le uniche autofunzioni dei sistemi LTI?

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Esiste un esempio di autofunzione di un sistema invariante a tempo lineare (LTI) che non è un esponenziale complesso? Le autofunzioni di LTI Systems di Justin Romberg affermano che esistono tali autovetture, ma non riesco a trovarne una.

linear-systems theory eigendecomposition

— Vinod
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Tutte le autofunzioni di un sistema LTI possono essere descritte in termini di esponenziali complessi e gli esponenziali complessi formano una base completa dello spazio del segnale. Tuttavia, se si dispone di un sistema che è degenerato , nel senso che si hanno autovasi di dimensione> 1, gli autovettori al corrispondente autovalore sono tutti una combinazione lineare di vettori dal sottospazio. E le combinazioni lineari di esponenziali complessi di frequenze diverse non sono più esponenziali complessi.

Esempio molto semplice: l'operatore di identità 1 come sistema LTI ha l'intero spazio del segnale come autospazio con autovalore 1. Ciò implica che TUTTE le funzioni sono autofunzioni.

— Jazzmaniac
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Tranne la funzione nulla ovviamente :) Stavo solo scherzando

— Laurent Duval il

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Pensavo di aver espresso chiaramente la mia risposta --- apparentemente no :-). La domanda originale era: "Esistono elementi distintivi oltre al complesso esponenziale per un sistema LTI?". La risposta è, se si dà il fatto che il sistema è LTI ma nient'altro è noto, allora l'unico segno distintivo è il complesso esponenziale. In casi specifici, il sistema può avere anche segnali digitali aggiuntivi. L'esempio che ho dato è stato l'LPF ideale, essendo sinceramente così originale. Si noti che la funzione sinc non è un segno distintivo di un sistema LTI arbitrario. Ho dato l'LPF e il sinc come esempio per indicare un caso non banale --- x (t) = y (t) soddisferà un matematico ma non un ingegnere: ->. Sono sicuro che si possano trovare altri esempi non banali specifici che hanno altri segnali come segnali autonome oltre al complesso esponenziale.

Inoltre, cos e sin non sono, in generale, autogegnali. Se viene applicato cos (wt) e l'output è A cos (wt + theta), allora questo output non può essere espresso come costante per l'input (tranne quando theta è 0 o pi, o A = 0), che è la condizione necessario per un segnale per essere un segnale elettronico. Ci possono essere condizioni in cui cos e sin sono segnali di autogestione, ma sono casi speciali e non generali.

CSR

— CSR
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Sei sicuro di aver compreso il mio commento all'altra tua risposta? Il punto è che per i sistemi LTI reali si prevede che abbia un vero seno in quanto autogestione. Ciò non significa che tutti i seni di tutte le frequenze siano eigensignali. Ho specificato in modo preciso la condizione per la quale sono tali e ho spiegato perché tale condizione è soddisfatta dalla maggior parte dei sistemi LTI.

— Jazzmaniac,

Inoltre, non dimenticare che hai modificato la tua risposta per cambiarne un po 'il significato. Il passaggio da "Per una funzione di trasferimento razionale non ci sono altri segnali personali" a "Per i sistemi arbitrari non ci sono segnali di autigeni generali oltre a ..." è piuttosto grande. Quindi metterlo come se la gente non capisse correttamente la tua risposta è un po 'troppo.

— Jazzmaniac,

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Per qualsiasi sistema LTI arbitrario, il complesso esponenziale è, per quanto ne sappia, l'unico eigensignal conosciuto. D'altra parte, considera l'LPF ideale. La funzione : può essere facilmente vista come un segnale autigenico. Ciò indica l'esistenza di sistemi LTI (come l'ideale LPF) che hanno segnali diversi da esponenziali complessi come segnali di autigeni ( in questo caso). $\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— CSR
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È piuttosto il contrario: la regola è che i sistemi LTI hanno eigensubspazi degenerati e quindi autovettori che non sono esponenziali complessi. Prendi in considerazione un sistema con output reale. Quindi , il che significa che se è reale e , allora hai già un eigensubspace bidimensionale e il seno reale è un autovettore. Ciò significa che qualsiasi sistema LTI che ha una risposta di fase che diventa un multiplo di per qualifica. Questa è la regola piuttosto che l'eccezione.

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac,

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in realtà, qualsiasi esponenziale puro è un'autofunzione per un sistema LTI. se non ti dispiace gestire quantità che si avvicinano rapidamente a , allora non c'è alcun requisito teorico che l'esponente sia complesso o reale.

\infty

$\infty$

— Robert Bristow-Johnson

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so di aver modificato la tua risposta (per renderla più chiara e più corretta con la semantica), ma la tua risposta è errata. non è una funzione generale per un sistema LTI generale. esso è un'autofunzione per specifica LTI che hanno ma non per altri.

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

— Robert Bristow-Johnson

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evidentemente "se non ti dispiace trattare con quantità che si avvicinano rapidamente ∞" non è lo stesso di "lo spazio del segnale che di solito è considerato ... lo spazio di Hilbert truccato di funzioni quadrate integrabili". tutto ciò che sto dicendo è che se è il tuo input, allora è il tuo output (dove è il Laplace trasformazione della risposta all'impulso LTI ). mi sembra un'autofunzione. ma hai ragione sulle specifiche CSR.

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

— robert bristow-johnson il

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@ Fat32, richiedere uno spazio funzionale ben educato non riguarda la stabilità ed è tutt'altro che superfluo o arbitrario. La maggior parte dei risultati utili nella teoria dell'elaborazione del segnale si basa su spazi del segnale ben educati. Particolarmente utile è il teorema spettrale ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ), e questo teorema richiede determinati spazi funzionali, di cui è una scelta possibile. Se vuoi applicare questo quadro matematico (e fidati di me, lo vuoi), allora non puoi accettare i segnali che proponi come segnali digitali.

L^{2}

$L^2$

— Jazzmaniac,

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Forse oggetti multidimensionali spazialmente invarianti come lenti con simmetria circolare. Si chiama espansione di Fourier Bessel. Non c'è T per il tempo ma valgono le relazioni del dominio della frequenza di convoluzione