Come posso trovare la risposta all'impulso di un sistema dal suo repersentation spazio-stato usando la matrice di transizione di stato?

Supponiamo di avere un lineare rappresentato nella notazione dello spazio degli stati standard:

\dot{X} (t) = UN X (t) + B u (t)

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

y (t) = C X (t) + D u (t)

$y(t) = Cx(t) + Du(t)$

Per ottenere la sua risposta all'impulso, è possibile prendere la sua trasformazione di Laplace per ottenere

S X = UN X + B U

$sX=AX+BU$

Y = C X + D U

$Y=CX+DU$

e quindi risolvere per la funzione di trasferimento che è

\frac{Y}{U} = C (S io - UN)^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$

Allo stesso modo, per un sistema discreto, la $\mathcal{Z}$ -transform di

X [n + 1] = UN X [n] + B u [n]

$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$

y [n] = C X [n] + D u [n]

$y[n] = Cx[n] + Du[n]$

\frac{Y}{U} = C (z io - UN)^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$

Questo processo sembra un po 'lungo e ricordo che esiste un modo per trovare la risposta all'impulso usando la matrice di transizione di stato che è la soluzione per $x$ delle prime equazioni di ciascuna coppia. Qualcuno sa come fare questo?

impulse-response state-space linear-systems

— Phonon
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È possibile affrontare il problema utilizzando la matrice di transizione di stato risolvendo l'ODE non omogeneo standard nella prima equazione. La soluzione a $\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$ è

X (t) = X_{0} e^{UN t} + \int_{0}^{t} e^{UN (t - t^{'})} B u (t^{'}) d t^{'}

$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$

dove . La quantità è chiamata matrice di transizione di stato (anche la soluzione all'omogeneo ODE), che (non ricordo la notazione standard per questo). Prendendo , l'equazione per diventa $x_0=x(0)$ $e^{At}$ $\Xi(t)$ $x_0=0$ $y(t)$

y (t) = C \int_{0}^{t} Ξ (t - t^{'}) B u (t^{'}) d t^{'} + D u (t)

$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$

L'equazione di cui sopra ti fornisce l'output come input contorto con la risposta all'impulso del sistema e, in effetti, puoi verificare la trasformata di Laplace dell'equazione di cui sopra. Notando che la trasformazione di Laplace di è e che le convoluzioni nel dominio del tempo diventano prodotti nel dominio s, otteniamo $\Xi(t)=e^{At}$ $(sI-A)^{-1}$

Y = C (S io - UN)^{- 1} B U + D U

$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$

che ti dà la stessa funzione di trasferimento della tua domanda.

Per quanto riguarda il fatto che il tuo commento sull'approccio di trasformazione di Laplace sia lungo, non direi necessariamente che sia così. Tuttavia, l'approccio della matrice di transizione di stato potrebbe essere più semplice da implementare , poiché diverse operazioni che lo coinvolgono possono essere calcolate con semplici moltiplicazioni di matrice e nient'altro.

— Lorem Ipsum
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Descrizione molto bella

— Jason R,