Trasformata di Fourier a tempo discreto

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Sono uno studente delle scuole medie che ha un fascino generale per l'elettronica, la programmazione e simili. Di recente, ho imparato a elaborare il segnale.

Sfortunatamente, non ho ancora fatto molti calcoli (perdonami), quindi sono un po 'confuso sulle cose.

Se dovessi calcolare il DTFT di un segnale, quale sarebbe la differenza tra una rappresentazione o di quel segnale? $\sin$ $\cos$
Con il DTFT capisco che il segnale immesso sarebbe discreto nel tempo, ma come si può ottenere un segnale continuo nel dominio della frequenza?
Questo porta alla mia seconda domanda, che è: come è utile il DTFT? Dove è stato utilizzato con la maggior parte delle applicazioni e perché?

Gradirei qualsiasi aiuto.

fourier-transform

— ElectroNerd
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Per la mia prima domanda, immagino che sia sfasato di 90 °. Tuttavia, ho prodotto alcuni grafici che indicano diversamente: i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/… i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/…

— ElectroNerd

Domande eccellenti. Ho creato una (e) risposta (e) a questi problemi, specialmente per quanto riguarda il modo in cui DSP viene portato alla mente dei giovani. (Questo è vero a livello universitario). Mandami una e-mail e posso mostrarti parte del materiale (troppo coinvolto per pubblicare qui).

— Spacey,

@Mohammad: Ciao, puoi condividere questi materiali con me a abidrahman2@gmail.com?

— Abid Rahman K

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È fantastico che tu sia interessato all'elaborazione del segnale in quella fase iniziale del tuo percorso formativo.

Il percorso migliore per arrivarci è leggere alcuni libri introduttivi sull'argomento. Ci sono molte risorse online valide e gratuite per iniziare. [Nota per lo stimato editore: i buoni libri di presentazione possono essere davvero un ottimo argomento per un "appiccicoso"]. A volte uso

Uno dei concetti matematici più importanti di cui avrai bisogno per aggirare le braccia sono i numeri "complessi". È chiaramente un termine improprio poiché non è poi così complicato e chiaramente rende quasi tutta la matematica di ingegneria molto più semplice. Un'altra grande risorsa gratuita per tutte le cose relative alla matematica è http://www.khanacademy.org e in questo caso in particolare http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

Torna alla tua prima domanda: in realtà ci sono quattro diversi gusti della trasformata di Fourier: la serie di Fourier (molto probabilmente presentata al liceo), la trasformata di Fourier, la trasformata discreta di Fourier e la serie discreta di Fourier. Tutti usano una combinazione di seno e coseno (o un esponenziale complesso, che è essenzialmente la stessa cosa). Avrai bisogno di entrambi.

Supponiamo di calcolare i coefficienti di Fourier seno e coseno di un'onda sinusoidale in ingresso. (In determinate condizioni) scoprirai che tutti i coefficienti di Fourier saranno zero eccetto per un coseno e un coefficiente seno. Tuttavia, a seconda della fase dell'onda sinusoidale in ingresso, questi due numeri si sposteranno. Puoi ottenere [0.707 0.707], o [1 0], o [0 -1], o [-0.866 0,5] ecc. Vedrai che la somma dei quadrati di quei due numeri sarà sempre 1, ma il valore effettivo i valori dipendono dalla fase dell'onda sinusoidale in ingresso.

Se vuoi fare immersioni profonde, prova questo: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Hilmar
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Ciao Hilmar, grazie per la risposta! Ho fatto un bel po 'di numeri complessi e sono d'accordo: sono relativamente semplici. È una buona notizia. Dopo aver fatto un po 'più casino, ho calcolato l'entità di entrambi i segnali di input sin e cos al DTFT e ho scoperto che l'ampiezza era la stessa sia per sin che per cos. Grazie soprattutto per i libri di consultazione, sarò impegnato per un po 'di tempo.

— ElectroNerd,

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Potresti voler esaminare i materiali disponibili attraverso

Il progetto INFINITY: espandere l'educazione ingegneristica basata sull'elaborazione del segnale nell'aula del liceo

disponibile qui

— Dilip Sarwate
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Questo sembra molto interessante; Potrei provare a consigliarlo alla mia scuola.

— ElectroNerd,

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La trasformata di Fourier di DTFT a tempo discreto prende un segnale infinito discreto poiché il suo ingresso e la sua uscita nel dominio della frequenza sono continui e hanno un periodo di 2 * pi. Venendo al suo utilizzo, nella mia esperienza DFT (discreta trasformata di Fourier) è quella che viene utilizzata per scopi pratici. In determinate condizioni, è facile dimostrare che la DFT di un segnale non periodico finito non è altro che campioni equidistanziati di DTFT. In generale, se azzeriamo la sequenza nel dominio del tempo (o dello spazio) otteniamo sempre più campioni del DTFT.

La linea di fondo è DFT è molto utile e DFT può essere visto come campioni equidistanti di DTFT, per ottenere più campioni di DTFT, facendo un pad zero del segnale aiuta.

— pv.
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Questo ha senso: mi è stato detto che più a lungo campionerai nel dominio del tempo, più fine sarà la risoluzione nel dominio della frequenza una volta calcolato il DTFT. Ho rappresentato questo usando Python e matplotlib ( Sine + zero padding , DTFT of zero padding Questo è un trucco da fare.

— ElectroNerd

Devo dire che devi stare attento qui. Un grande malinteso è che il padding zero del segnale aumenta la risoluzione della frequenza - non lo fa. L'unico modo per aumentare veramente la risoluzione della frequenza è avere più dati, più campioni nel dominio del tempo. Detto questo, lo zero padding aiuta se si desidera esaminare il proprio spettro di frequenza con punti interpolati tra ciò che è stato effettivamente calcolato.

— Spacey,

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Prima di tutto, aiuta a chiarire la terminologia:

Una funzione nel dominio del tempo è nota come segnale .
Una funzione nel dominio della frequenza è nota come spettro .

a_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \cos n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \sin n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{f} (x) = \frac{a_{n}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n x) + b_{n} s i n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{f} (x) = s (x)

$s_f(x)=s(x)$

In questa equazione, a _n e b _n sono rispettivamente le parti reali e immaginarie dello spettro discreto. Pertanto, come puoi vedere, la trasformata di Fourier di un coseno sarà un numero reale e, per un seno, sarà un numero immaginario. La T sull'integrale significa che ci stiamo integrando per un intero periodo del segnale. Questo è usato principalmente in quella che viene chiamata analisi armonica, che ho usato principalmente per analizzare circuiti analogici con segnali non sinusoidali (onde quadrate, onde triangolari, ecc.) Ma cosa succede se il segnale non è periodico? Questo non funziona e dobbiamo passare alla trasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier converte un segnale continuo in uno spettro continuo. A differenza della serie di Fourier, la trasformata di Fourier consente di convertire una funzione non periodica in uno spettro. Una funzione non periodica si traduce sempre in uno spettro continuo.

La trasformata di Fourier a tempo discreto ottiene lo stesso risultato della trasformata di Fourier, ma funziona su un segnale discreto (digitale) piuttosto che continuo (analogico). Il DTFT può generare uno spettro continuo perché, poiché come prima, un segnale non periodico produrrà sempre uno spettro continuo, anche se il segnale stesso non è continuo. Un numero infinito di frequenze sarà ancora presente nel segnale, anche se è discreto.

Quindi, per rispondere alla tua domanda, il DTFT è senza dubbio il più utile, poiché opera su segnali digitali e quindi ci consente di progettare filtri digitali. I filtri digitali sono lontanipiù efficiente di quelli analogici. Sono molto più economici, molto più affidabili e molto più facili da progettare. Il DTFT è utilizzato in diverse applicazioni. In cima alla mia testa: sintetizzatori, schede audio, apparecchi di registrazione, programmi di riconoscimento vocale e vocale, dispositivi biomedici e molti altri. Il DTFT nella sua forma pura è principalmente usato per l'analisi, ma il DFT che prende un segnale discreto e produce uno spettro discreto è programmato nella maggior parte delle applicazioni di cui sopra ed è parte integrante dell'elaborazione del segnale nell'informatica. L'implementazione più comune del DFT è la trasformata di Fourier veloce. È un semplice algoritmo ricorsivo che può essere trovato qui . Spero che questo possa essere d'aiuto! Sentiti libero di commentare se hai domande.

— Zetta Suro
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Come pv. detto DFT si ottiene campionando il DTFT in "Frequency Domain". Come forse saprai, un segnale a tempo discreto si ottiene campionando un segnale a tempo continuo. Tuttavia, per costruire perfettamente il segnale a tempo continuo dalla sua controparte a tempo discreto, la frequenza di campionamento DEVE essere maggiore della frequenza di Nyquist. Perché ciò accada, il segnale del tempo continuo deve essere limitato in frequenza.

Per la DTFT e la DFT la storia è in qualche modo invertita. Hai DTFT che è continuo nel dominio "Frequenza". Fondamentalmente non è possibile memorizzare un segnale continuo ed elaborarlo in un computer. La soluzione sta campionando! Quindi, campionate dal DTFT e chiamate il risultato DFT. Tuttavia, secondo il teorema del campionamento per ricostruire perfettamente il DTFT da DFT, la controparte nel dominio del tempo di DTFT DEVE essere "illimitata". Ecco perché bisogna usare i finestrini prima di prendere il DFT.

— sina
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