Cosa si intende per "momento spettrale"?

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Ho consultato gli onnipotenti oracoli di google e wiki, ma non riesco a trovare una definizione per la frase "il momento dello spettro".

Un testo di lavoro legacy che sto leggendo lo utilizza nel modo seguente, definendo il numero di passaggi per zero per unità di tempo come il seguente:

N_{0} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{2}}{m_{0}})}^{1 / 2}

$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$

Successivamente, definisce ulteriormente il numero di estremi per unità di tempo come indicato da:

N_{e} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{4}}{m_{2}})}^{1 / 2}

$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$

dove continua dicendo, "dove $m_i$ è il $i$ momento dello spettro".

Qualcuno ha incontrato questo prima? Qual è il "momento" di uno spettro? Non ne avevo mai sentito parlare prima nella letteratura DSP.

frequency-spectrum

— Spacey
fonte

Citando Calcolo efficiente dei momenti spettrali per la determinazione delle statistiche di risposta casuale per i momenti spettrali: "I momenti spettrali sono calcolati dal PSD unilaterale"

— Laurent Duval,

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Pensavo che i momenti spettrali fossero accaduti nel film Ghostbusters! :-)

— Peter K.

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Assumi segnali passa-basso per tutto.

Dato che è generalmente valutato in modo complesso, usare lo spettro di potenza è probabilmente un'idea migliore, specialmente se vuoi prendere radici quadrate ecc. In seguito. Pertanto, è definito come Nota in particolare che è la potenza del segnale e Ora, la larghezza di banda Gabor di un segnale è data da Per dirlo in una prospettiva leggermente diversa, $X(f)$ $|X(f)|^2$ $m_k$

m_{K} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{K} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

m_{0}

$m_0$

m_{1} = 0

$m_1 = 0$

G

$G$

sol = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} .

$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ è una funzione non negativa e "l'area sotto la curva ", vale a dire. , è la potenza nel segnale. Pertanto, è effettivamente una funzione di densità di probabilità di una variabile casuale a media zero la cui varianza è .

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$

m_{0}

$m_0$

| X (f) |^{2} / m_{0}

$|X(f)|^2/m_0$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{2} \frac{| X (f) |^{2}}{m_{0}} d f = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f} = {sol}^{2}

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$

Una sinusoide di frequenza Hz ha zero incroci al secondo. Dato che Mohammad sta leggendo un libro legacy, potrebbe anche fare tutto questo in frequenza radiante , e quindi se è la larghezza di banda di Gabor in radianti al secondo, dobbiamo dividere per dando $G$ $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ $\omega$ $G$ $2\pi$

N_{0} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} zero incroci al secondo.

$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$

Passando a extrema, la derivata di ha trasformata di Fourier e spettro di potenza . La sua larghezza di banda Gabor è Usando gli stessi argomenti di prima (due incroci di zero della derivata per periodo sono gli stessi di due estremi per periodo), radiante contro frequenza Hertziana, otteniamo $x(t)$ $j2\pi f X(f)$ $|2\pi f X(f)|^2$

\begin{aligned} G^{'} & = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | 2 π f X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | 2 π f X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{4} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$

N_{e} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} extrema per second.

$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$

— Dilip Sarwate
fonte

Grande risposta Dilip ... ma "Gabor Bandwidth"? ... Non ne ho mai sentito parlare prima, e non riesco a ottenere alcuna informazione dal web - da dove hai preso la sua formula? E cosa dovrebbe misurare esattamente?

— Spacey,

Grazie per i collegamenti pdf - anche se non credo che stiano funzionando. Potresti per favore verificare?

— Spacey,

Dovresti stare attento se è in Hz; in questo caso il momento spettrale corretto è

f

$f$

m_{K} = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π f)^{K} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty (2\,\pi\,f)^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

— jankos,

@jankos Hai un riferimento per ciò che affermi sia la definizione corretta del momento spettrale ?

m_{k}

$m_k$

— Dilip Sarwate,

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Non so di aver già sentito quel termine prima, ma interpreterei il termine "momento" come avente un significato analogo ai concetti fisici di centro di massa e primo e secondo momento dell'area:

m_{K} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{K} X (f) d f

$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$

Cioè, il contenuto di ogni frequenza nello spettro è ponderato dalla potenza -esima della frequenza e il risultato viene sommato attraverso l'intero spettro. Non sono sicuro se questo è quello che vuoi, ma è il concetto di un momento per uno spettro (o qualsiasi funzione di una singola variabile, del resto). $k$

— Jason R
fonte

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I rapporti che menzioni sono casi di momenti standardizzati o momenti . I momenti nell'elaborazione del segnale sono simili ai momenti per la fisica e ai momenti nelle statistiche. In fisica, la nozione di momento è: $L$

un'espressione che coinvolge il prodotto di una distanza e un'altra quantità fisica, e in questo modo spiega come la quantità fisica è localizzata o organizzata

$\alpha$ $g$ $D$ $c$

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} (t - c)^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} [t - c |^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$

x

$x$

X (f)

$X(f)$

g (\cdot) = | X (\cdot) |^{2}

$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$

m_{α} = \int_{f \geq 0} f^{α} \frac{| X (f) |^{2}}{\int_{ν \geq 0} | X (ν) |^{2} d ν} d f

$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$

Vedi ad esempio: Calcolo efficiente dei momenti spettrali per la determinazione delle statistiche di risposta casuale per i momenti spettrali: "I momenti spettrali sono calcolati dal PSD unilaterale".

$L$ $m_1/m_2$

— Laurent Duval
fonte