Trasformata di Fourier discreta

Sto cercando di capire il vero DFT e il DFT e perché esiste la distinzione.

Da quello che so finora il DFT usa per i vettori di base e fornisce la rappresentazione La somma è scritta da a per ragioni storiche penso invece di scriverla in modo analogo alla serie di Fourier con la somma che va da a : Questo si basa su una anomalia peculiare del DFT dove le alte frequenze sono uguali a quelle negative: . $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Continuando l'analogia con la serie di Fourier, il DFT reale fornisce la rappresentazione Questo può essere visto come associazione con nella rappresentazione DFT in cui la somma varia da a . Questo è molto simile all'abbinamento che collega le due rappresentazioni di un Serie di Fourier:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

La mia domandaallora perché la DFT è molto più diffusa della DFT reale? Ci si aspetterebbe che dal momento che il vero DFT sta usando come base i seni e i coseni stimati e rappresenti meglio l'immagine geometrica che la gente vorrebbe di più. Posso capire perché la DFT e la trasformata di Fourier continua sarebbero preferite in senso teorico poiché l'algebra degli esponenziali è più semplice. Ma ignorando l'algebra più semplice, da un punto di vista pratico computazionale applicato, perché la DFT sarebbe più utile? Perché rappresentare il tuo segnale con esponenziali complessi sarebbe più utile in varie applicazioni di fisica, linguaggio, immagine, ecc. Che scomporre il segnale in seno e coseno. Inoltre, se c'è qualcosa di sottile che mi manca nella mia precedente esposizione, vorrei sapere: io '

dft

— user782220
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La vera trasformata di Fourier discreta è importante per il motivo che l'applicazione della solita DFT a una sequenza reale comporta una ridondanza, in quanto per una lunghezza sequenza reale con la corrispondente trasformazione , la sequenza è precisamente il coniugato complesso della sequenza . È logico, quindi, che siano necessarie solo le voci corrispondenti alle frequenze positive della trasformata. In questo contesto si incontrerà anche la cosiddetta trasformazione di Hartley . Vengono utilizzati entrambi gli approcci.

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

A proposito: consiglio vivamente di leggere questi due articoli sia sulla vera trasformata di Fourier che su quella di Hartley; fanno un buon lavoro nel spiegare l'interesse per questi metodi oltre al DFT stesso.

È vero che la matrice del RDFT e la matrice del DFT sono correlate da un cambio di base? E che il cambio di base è in realtà una riflessione parallela al modo in cui le serie di Fourier possono essere rappresentate in due modi con coefficienti correlati da . E il punto chiave nel contesto del DFT è che le frequenze superiori dovrebbero essere pensate come frequenze negative in modo che sia possibile eseguire l'associazione per ottenere seni e coseni come nella serie fourier, dando il RDFT

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

— user782220

Uno dei capitoli di Van Loan affronta la tua domanda in dettaglio. Ciò presuppone una certa abilità con la manipolazione dei prodotti Kronecker.

Per lo meno dovresti avere meno domande di quelle che hai ora.

Il vantaggio della complessa DFT o della complessa trasformata di Fourier o della complessa serie di Fourier è che i sistemi lineari hanno la bella proprietà che la risposta ad è . (Qui può essere una costante complessa). Quindi l'output è solo un multiplo scalare dell'input. Ancora più importante, se abbiamo una rappresentazione dell'input come somma ponderata di esponenziali complessi, l'output è solo un'altra somma ponderata degli stessi esponenziali. Pesi diversi, ma stesso insieme di esponenziali . Inoltre, ogni nuovo peso si ottiene moltiplicando il vecchio peso per un numero appropriato. $A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$

Naturalmente, nessun sistema fisico ha segnali di valori complessi che entrano e escono; almeno fino ad oggi, anche se si può sempre sperare in cose migliori in futuro. Nel frattempo prendiamo parti reali dei segnali complessi o otteniamo la risposta a o tramite linearità e sovrapposizione e uso liberale di $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

Al contrario, la risposta a è della forma . Pertanto, mentre la linearità, la sovrapposizione ecc. Funzionano tutte, l'output potrebbe aver bisogno dell'uso di funzioni base diverse rispetto all'input. Naturalmente molto strettamente correlati, ma forse potrebbero essere necessarie funzioni di base diverse e forse più numerose. Ad esempio, input è rappresentato da una funzione base, output da due funzioni base. Si può sostenere che le funzioni complesse richiedono il doppio del lavoro rispetto alle funzioni reali e quindi qualsiasi risparmio è puramente immaginario (gioco di parole), ma le rappresentazioni complesse consentono $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ trattamento uniforme mentre le rappresentazioni peccato / cos non lo fanno. Presto! Data la risposta a è , qual è la risposta a ? Devi lavorarci un po ', potrebbe essere necessario invocare formule come e così via. Con esponenziali complessi, la vita è molto più semplice. $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Ma, come nella vita reale, il tuo chilometraggio può variare e se senti che le rappresentazioni peccato / cos sono la strada da percorrere e che esponenziali complessi dovrebbero essere evitati, sei libero di seguire il tuo cuore. Se hai difficoltà a comunicare le tue idee a colleghi, capi, clienti o consulenti, questa sarà la loro perdita, non la tua.

— Dilip Sarwate
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