Esiste il CTFT inverso per un delta dirac?

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La trasformazione inversa di Fourier a tempo continuo esiste per un delta di Dirac (un singolo picco causale / non causale)?

continuous-signals

— Mikhail
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Vedi le risposte a una recente domanda correlata su math.SE che ti spiegherà anche come utilizzare le tabelle delle comuni coppie di trasformate di Fourier rispetto alla variabile di frequenza radiante radianti / secondo per ottenere coppie di trasformate di Fourier rispetto alla variabile di frequenza in Hertz. Nel caso particolare di impulsi nel tempo o nella frequenza, la chiave è la proprietà setacciatrice :

ω

$\omega$

f

$f$

\int_{- \infty}^{\infty} x (y) δ (y - a) d y = x (a) if x (y) is continuous at a .

$\int_{-\infty}^{\infty} x(y) \delta(y-a)\mathrm dy = x(a) ~ \text{if}~x(y)~\text{is continuous at}~a.$

— Dilip Sarwate,

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Sì, questo è un esponenziale complesso , a una frequenza determinata dalla "posizione" delta (il tuo input è ). Scrivi l'integrale per la trasformata inversa di Fourier, usa la definizione di e vedrai che "seleziona" a questa particolare frequenza il complesso esponenziale integrato. $e^{2 \pi i f_0 t}$ $f_0$ $\delta(f - f_0)$ $\delta$

— pichenettes
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Questa è una trasformazione molto importante che si trova spesso in una tabella di trasformazioni di Fourier comuni come questa .

— Jason R,

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Come nota a margine: la trasformata di Fourier in avanti e inversa sono per lo più la stessa cosa. Ad esempio, un rettangolo in un dominio corrisponde a un sin (x) / x nell'altro dominio (indipendentemente dal fatto che inizi in tempo o frequenza). Lo stesso vale per un delta: l'impulso in un dominio corrisponde a un esponenziale complesso nell'altro.

È possibile implementare una FFT inversa (basata su una FFT diretta) come segue:

prendere il coniugato
avanti FFT
prendere di nuovo il coniugato
dividere per lunghezza della sequenza

In Matlab sarebbe simile a questo

n = 1024;
x0 = randn(n,1) + j*rand(n,1); % random sequence
fx = fft(x0);  % take the FFT
x1 = conj(fft(conj(fx)))/n; % inverse fft based on fw fft
% print an error metric how close we got to the orginal signal
fprintf('Error = %6.2f dB\n', 10*log10(sum( (x1-x0).* conj(x1-x0))./sum(x0.*conj(x0))));

— Hilmar
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Non includerei il passaggio n. 4 nell'elenco sopra, poiché non sarà necessariamente così. Non esiste una singola idea concordata su come gestire il ridimensionamento nel DFT / IDFT. Cosa hai indicato funziona con l'attuazione di MATLAB, ma è possibile che un altro non richiederebbe la divisione per .

N

$N$

— Jason R,

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È vero. Il ridimensionamento di Matlab è probabilmente il più comune (e visto nella maggior parte dei libri di testo). 1 / sqrt (N) sia in avanti che al contrario sarebbe meglio se assicurasse che la versione più pulita del teorema di Parseval, cioè l'energia nel dominio del tempo sia uguale all'energia nel dominio della frequenza.

— Hilmar,