Cosa indica il dominio della frequenza in caso di immagini?

Stavo solo imparando a conoscere il dominio della frequenza nelle immagini.

Riesco a capire lo spettro delle frequenze in caso di onde. Indica quali frequenze sono presenti in un'onda. Se disegniamo lo spettro di frequenza di , otteniamo un segnale di impulso a e . E possiamo usare i filtri corrispondenti per estrarre informazioni particolari.$\cos(2\pi f t)$$-f$$+f$

Ma cosa significa spettro di frequenza in caso di immagini? Quando prendiamo la FFT di un'immagine in OpenCV, otteniamo una strana immagine. Cosa indica questa immagine? E qual è la sua applicazione?

Ho letto alcuni libri, ma danno molte equazioni matematiche piuttosto che implicazioni fisiche. Quindi qualcuno può fornire una semplice spiegazione del dominio della frequenza nelle immagini con una sua semplice applicazione nell'elaborazione delle immagini?

Ma cosa significa spettro di frequenza in caso di immagini?

Le "equazioni matematiche" sono importanti, quindi non saltarle del tutto. Ma anche la 2d FFT ha un'interpretazione intuitiva. Per esempio, ho calcolato la FFT inversa di alcune immagini di esempio:

Come puoi vedere, nel dominio della frequenza è impostato solo un pixel. Il risultato nel dominio dell'immagine (ho visualizzato solo la parte reale) è un "modello di coseno ruotato" (la parte immaginaria sarebbe il seno corrispondente).

Se imposto un pixel diverso nel dominio della frequenza (sul bordo sinistro):

Ottengo un diverso schema di frequenza 2d.

Se imposto più di un pixel nel dominio della frequenza:

ottieni la somma di due coseni.

Quindi, come un'onda 1d, che può essere rappresentata come una somma di seni e coseni, qualsiasi immagine 2d può essere rappresentata (parlando in senso lato) come una somma di "seni e coseni ruotati", come mostrato sopra.

quando catturiamo un'immagine in opencv, otteniamo una strana immagine. Cosa indica questa immagine?

Indica le ampiezze e le frequenze dei seni / coseni che, se sommati, ti daranno l'immagine originale.

E qual è la sua applicazione?

Ce ne sono davvero troppi per nominarli tutti. La correlazione e la convoluzione possono essere calcolate in modo molto efficiente utilizzando una FFT, ma si tratta più di un'ottimizzazione, per questo non si "guarda" al risultato della FFT. È usato per la compressione delle immagini, perché i componenti ad alta frequenza sono di solito solo rumore.

Penso che questo sia stato inserito molto bene nella nota "guida DSP" ( capitolo 24, sezione 5 ):

L'analisi di Fourier viene utilizzata nell'elaborazione delle immagini più o meno allo stesso modo dei segnali monodimensionali. Tuttavia, le immagini non hanno le loro informazioni codificate nel dominio della frequenza, rendendo le tecniche molto meno utili. Ad esempio, quando viene trasformata la trasformata di Fourier di un segnale audio, la forma d'onda confusa del dominio del tempo viene convertita in uno spettro di frequenza di facile comprensione.

In confronto, prendere la trasformata di Fourier di un'immagine converte le informazioni semplici nel dominio spaziale in una forma confusa nel dominio della frequenza. In breve, non aspettarti che la trasformata di Fourier ti aiuti a comprendere le informazioni codificate nelle immagini.

Quindi, naturalmente, c'è una struttura e un significato dietro il modello apparentemente casuale ottenuto prendendo il DFT di un'immagine tipica (come nell'esempio seguente), ma non è in una forma che il cervello umano è pronto a capire intuitivamente, almeno per quanto riguarda la percezione visiva.

Ecco un'altra esposizione interessante e abbastanza leggibile di ciò che è contenuto in una trasformata di Fourier di un'immagine e di come può essere interpretato. Ha una serie di immagini che rendono abbastanza chiaro quale sia la corrispondenza tra la trasformata di Fourier e l'immagine originale.

modifica: dai un'occhiata anche a questa pagina , che dimostra - vicino alla fine - come la maggior parte delle informazioni percettivamente importanti di un'immagine è memorizzata nella componente di fase (angolo) della rappresentazione di frequenza.

modifica 2: un altro esempio del significato di fase e grandezza nella rappresentazione di Fourier: "Sezione 3.4.1, Importanza di fase e grandezza" del libro di testo di TU Delft " Fondamenti di elaborazione delle immagini " lo dimostra chiaramente:

L'onda è un'onda monodimensionale; dipende solo da . L'onda è un'onda bidimensionale. Dipende ed . Come vedi, hai due frequenze, in entrambe le direzioni.$f(t)=cos (ωt)$$t$$f(x,y)=cos(ωx+ψy)$$x$$y$

Pertanto, la trasformata di Fourier (FFT) di ti darà , proprio come la FFT di ti dà . E se il tuo input è una funzione che somma i coseni 2D, allora la tua FFT 2D sarà la somma delle frequenze di quei coseni - di nuovo un analogo diretto della FFT 1D.$cos(ωx+ψy)$$ω,ψ$$cos(ωx)$$ω$

Vale la pena notare che l'analisi di Fourier è un caso speciale di un concetto chiamato funzioni ortogonali . L'idea di base è di suddividere un segnale complicato in una sovrapposizione lineare di funzioni "base" più semplici. È possibile eseguire l'elaborazione o l'analisi sulle funzioni di base e quindi sommare i risultati per le funzioni di base per ottenere il risultato per il segnale originale.

Affinché ciò funzioni ci sono alcuni requisiti matematici per le funzioni di base, cioè formano idealmente una base ortonormale. Nel caso della trasformata di Fourier le funzioni di base sono esponenziali complessi. Tuttavia, ci sono molte altre funzioni che possono essere utilizzate anche per quello.

Nelle immagini l'aumento della frequenza è associato a transizioni più improvvise di luminosità o colore. Inoltre, il rumore è solitamente incorporato nella fascia alta dello spettro, quindi il filtro passa-basso può essere utilizzato per la riduzione del rumore.

in questo contesto una demo molto bella: http://bigwww.epfl.ch/demo/basisfft/index.html