Cos'è la trasformazione di Walsh-Hadamard e a cosa serve?

Sto cercando di insegnare me stesso sulla WHT ma non sembrano esserci molte buone spiegazioni online da nessuna parte. Penso di aver capito come calcolare il WHT, ma sto davvero cercando di capire perché sia ​​considerato utile nel dominio del riconoscimento delle immagini.

Cosa c'è di così speciale, e quali proprietà mette in evidenza in un segnale che non si manifesta nelle trasformate di Fourier classiche o in altre trasformazioni wavelet? Perché è utile per il riconoscimento di oggetti come indicato qui ?

La NASA utilizzava la trasformata Hadamard come base per comprimere le fotografie dalle sonde interplanetarie negli anni '60 e nei primi anni '70. Hadamard è un sostituto computazionalmente più semplice della trasformata di Fourier, poiché non richiede operazioni di moltiplicazione o divisione (tutti i fattori sono più o meno uno). Le operazioni di moltiplicazione e divisione erano estremamente dispendiose in termini di tempo sui piccoli computer utilizzati a bordo di quei veicoli spaziali, quindi evitarli era vantaggioso sia in termini di tempo di calcolo che di consumo di energia. Ma dal momento che lo sviluppo di computer più veloci che incorporano moltiplicatori a ciclo singolo e la perfezione di algoritmi più recenti come Fast Fourier Transform, nonché lo sviluppo di JPEG, MPEG e altre compressioni di immagini, credo che Hadamard sia fallito. Tuttavia, Capisco che potrebbe essere in scena un ritorno per l'uso nel calcolo quantistico. (L'uso della NASA è tratto da un vecchio articolo dei riassunti tecnici della NASA; l'attribuzione esatta non è disponibile.)

I coefficienti della trasformazione di Hadamard sono tutti +1 o -1. La trasformata veloce di Hadamard può quindi essere ridotta alle operazioni di addizione e sottrazione (nessuna divisione o moltiplicazione). Ciò consente l'utilizzo di hardware più semplice per calcolare la trasformazione.

Quindi il costo o la velocità dell'hardware possono essere l'aspetto desiderabile della trasformazione di Hadamard.

Dai un'occhiata a questo documento se hai accesso, ho incollato l'abstract qui Pratt, WK; Kane, J .; Andrews, HC; , "Hadamard trasforma la codifica delle immagini", Atti dell'IEEE, vol.57, n. 1, pp. 58-68, gennaio 1969 doi: 10.1109 / PROC.1969.6869 URL: http://ieeexplore.ieee.org/stamp /stamp.jsp?tp=&arnumber=1448799&isnumber=31116

Riassunto L'introduzione dell'algoritmo di trasformata di Fourier veloce ha portato allo sviluppo della tecnica di codifica delle immagini di trasformata di Fourier in base alla quale la trasformata di Fourier bidimensionale di un'immagine viene trasmessa su un canale anziché sull'immagine stessa. Questo sviluppo ha ulteriormente portato a una tecnica di codifica di immagini correlata in cui un'immagine viene trasformata da un operatore di matrice Hadamard. La matrice Hadamard è una matrice quadrata di più e meno le cui file e colonne sono ortogonali tra loro. È stato sviluppato un algoritmo computazionale ad alta velocità, simile al veloce algoritmo di trasformazione di Fourier, che esegue la trasformazione di Hadamard. Poiché con la trasformata di Hadamard sono necessari solo numeri e aggiunte reali e trasformazioni, un vantaggio di velocità dell'ordine di grandezza è possibile rispetto al numero complesso trasformata di Fourier.

Vorrei aggiungere che qualsiasi trasformazione m (matrice di Toeplitz generata da una sequenza m) può essere scomposta in

P1 * WHT * P2

dove WHT è la trasformata di Walsh Hadamard, P1 e P2 sono permutazioni (rif: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=114749 ).

m-transform è usato per una serie di cose: (1) identificazione del sistema quando il sistema è afflitto da rumore e (2) da virtuale di (1) identifica il ritardo di fase in un sistema che è afflitto da rumore

per (1), m-transform recupera i kernel di sistema quando lo stimolo è una sequenza m, utile in neurofisiologia (ad es . http://jn.physiology.org/content/99/1/367. pieno e altri) perché è ad alta potenza per un segnale a banda larga.

Per (2), il codice Gold è costruito da sequenze m (http://en.wikipedia.org/wiki/Gold_code).

Sono abbastanza contento di assistere a un risveglio attorno alle trasformazioni di Walsh-Paley-Hadamard (o talvolta chiamato Waleymard), vedi Come possiamo usare la trasformazione di Hadamard nell'estrazione di feature da un'immagine?

$\pm 1$

$2^n$

Come tali, possono essere utilizzati in qualsiasi applicazione in cui vengono utilizzate basi coseno / seno o wavelet, con un'implementazione molto economica. Sui dati interi, possono rimanere interi e consentire trasformazioni e compressioni veramente senza perdita di dati (in modo simile al DCT intero o alle wavelet binarie o al binlet). Quindi si possono usare in codici binari.

Le loro prestazioni sono spesso considerate più povere di altre trasformazioni armoniche su segnali e immagini naturali, a causa della loro natura a blocchi. Tuttavia, alcune varianti sono ancora in uso come per trasformazioni di colore reversibili (RCT) o trasformazioni di codifica video a bassa complessità (trasformazione a bassa complessità e quantizzazione in H.264 / AVC ).

Qualche letteratura:

• Agaian, SS, matrici di Hadamard e loro applicazioni, 1985
• Beauchamp, KG, funzioni di Walsh e loro applicazioni, 1975
• Harmut, HF, Trasmissione di informazioni tramite funzioni ortogonali, 1970
• Algoritmo di compressione video in tempo reale per l'elaborazione della trasformazione Hadamard (NASA, 196)
• Un compressore video trasformativo Hadamard adattivo in tempo reale (NASA, 196)

Alcuni collegamenti: Pagina Web

Descrizione generale

Per la distribuzione gaussiana

rapporto