Cosa significa esattamente quando due parti di un segnale sono correlate?

Mi imbatto piuttosto spesso nell'idea che due o più parti di un segnale siano correlate per descrivere semi-formalmente che appartengono insieme. Ad esempio, nell'elaborazione delle immagini, due pixel su una caratteristica del bordo tendono ad essere correlati, mentre due parti adiacenti di una struttura 3D che rappresenta le goccioline d'acqua in una simulazione di particelle sono meno correlate. La mia domanda è qual è l'idea esatta dietro questa nozione.

statistics correlation terminology

— Lenar Hoyt
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Votata la tua domanda. C'era un downvoter che aveva seriamente downvoting Tourettes e ha votato in down tutti noi.

— Rayryeng,

Puoi spiegarci un po 'di più. Quando parliamo di correlazione non siamo interessati a un singolo pixel, di solito siamo interessati a un gruppo di pixel adiacenti. Puoi mostrarci l'immagine della struttura 3D che rappresenta le gocce d'acqua. Sarà possibile spiegare meglio la risposta in questo modo.

— discente

Risposte:

Sì, può rovinarti abbastanza se non riesci a ottenere i fondamenti fin dall'inizio. È così che interpreto la correlazione, e ha funzionato per me per quello che faccio per vivere.

Cominciamo con un esempio relativamente semplice. Dai un'occhiata alla seguente figura (estratta da dspguide ... questo è in realtà un ottimo libro online per conoscere le basi di DSP).

bla

Abbiamo un'antenna che trasmette una breve scarica di energia delle onde radio in una certa direzione. Se l'onda di propagazione colpisce un oggetto ... come un elicottero in questa figura, una piccola frazione dell'energia viene riflessa verso un ricevitore radio. Questo ricevitore è vicino all'antenna trasmittente.

Questa breve esplosione di energia radio, per il bene di questo esempio, è una piccola forma triangolare. Quando il segnale viene riflesso dall'elicottero e quindi riecheggiato di nuovo sul ricevitore, questo segnale sarà costituito da due parti:

Una versione spostata e ridimensionata dell'impulso trasmesso, e
Rumore casuale, derivante da interferenze di onde radio, rumore termico nell'elettronica e altri fattori.

Parlando in modo approssimativo, possiamo effettivamente capire quanto è lontano l'oggetto usando questo concetto. Poiché i segnali radio viaggiano all'incirca alla velocità della luce, lo spostamento tra l'impulso trasmesso e quello ricevuto è una misura approssimativa della distanza dall'oggetto rilevato.

Come tale, questo è il nostro problema generale:

Dato un segnale di qualche forma nota, qual è il modo migliore per determinare dove (o se) il segnale si presenta in un altro segnale?

Il modo migliore per rispondere è la correlazione .

Esistono due paradigmi diversi per la correlazione informatica. Il primo si chiama auto-correlazione , in cui si sta confrontando un segnale con offset del tempo spostati di se stesso. Questo paradigma che stiamo descrivendo (visto anche nella figura) è definito come correlazione incrociata , in cui stiamo confrontando con un altro segnale , in particolare il segnale ricevuto. In sostanza stiamo confrontando il segnale ricevuto con le versioni spostate del segnale trasmesso originale. Fondamentalmente, diamo un'occhiata a ciò che abbiamo ricevuto e ciò che è stato trasmesso. Prendiamo ciò che è stato ricevuto e spostiamo il tempo del segnale originale trasmesso su valori temporali diversi. Facciamo quindi un confronto con ciascuno di questi segnali e il risultato ricevuto. Qualunque ci dia il massimo il valore indicherà quanto è lontano l'elicottero.

L'ampiezza di ciascun campione nel segnale di correlazione incrociata è una misura di quanto il segnale ricevuto assomigli al segnale target, in quella posizione. Ciò significa che si verificherà un picco nel segnale di correlazione incrociata per ogni segnale target presente nel segnale ricevuto. In altre parole, il valore della correlazione incrociata viene massimizzato quando il segnale target è allineato con le stesse caratteristiche nel segnale ricevuto.

Se c'è del rumore sul segnale ricevuto, ci sarà anche del rumore sul segnale di correlazione incrociata. È inevitabile che il rumore casuale assuma una certa quantità come qualsiasi segnale target che puoi scegliere. Il rumore sul segnale di correlazione incrociata sta semplicemente misurando questa somiglianza. Tranne questo rumore, il picco generato nel segnale di correlazione incrociata è simmetrico tra sinistra e destra. Questo è vero anche se il segnale target non è simmetrico.

Una buona cosa da ricordare è che la correlazione incrociata sta cercando di rilevare il segnale target, non di ricrearlo. Non c'è motivo di aspettarsi che il picco assomiglierà addirittura al segnale target. La correlazione è la tecnica ottimale per rilevare una forma d'onda nota nel rumore casuale. Per essere perfettamente corretti, è ottimale solo per il rumore bianco casuale. L'uso della correlazione per rilevare una forma d'onda nota viene spesso chiamato filtro abbinato .

tl;dr- La correlazione è una misura di quanto un segnale assomiglia a un altro. Il segnale può essere immagini, caratteristiche, spigoli, ecc. È semplicemente una misura della somiglianza tra un segnale e l'altro.

— rayryeng
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Al downvoter - C'è un motivo per cui hai effettuato il downvoting? Non mi sto lamentando. Sono solo curioso di sapere perché. Questa domanda è in realtà abbastanza adatta come domanda di elaborazione del segnale.

— Rayryeng,

Non ho sottovalutato la tua risposta, ma avrei potuto. La tua spiegazione

We essentially are comparing the signal we have received with shifted versions of itself. Take a look at what we have received and what was transmitted. We take what was received, and time shift this over by different time values. We then do a comparison with each of these signals and the received result. Whichever gives us the highest value will denote how far away the helicopter is.

è pura assurdità. Se si collega il segnale in entrata con versioni ritardate di se stesso , il valore di picco si verificherà sempre con offset .

0

$0$

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate - Ops hai ragione. Non l'ho detto bene. Aggiornerò la mia risposta. A proposito, non devi essere condiscendente.

— Rayryeng,

Di solito questo si riferisce al coefficiente di autocorrelazione.

Considerare qualsiasi segnale 1D con periodicità . $\pi$

Ora diamo un'occhiata all'integrale di autocorrelazione:

R (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) f (t - τ) d t

$R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\! f(t)f(t-\tau)\,\mathrm{d}t$

Per variare , l'autocorrelazione avrà un massimo per uguale a e i suoi multipli. Pertanto l'autocorrelazione può essere utilizzata per studiare la periodicità di un segnale. $\tau$ $\tau$ $\pi$

Questo è spesso usato colloquialmente per indicare che alcune parti di un segnale sono molto simili o addirittura identiche.

L'analogo per due segnali diversi sarebbe la correlazione incrociata. Può essere usato per studiare la somiglianza di due segnali separati.

(f ⋆ g) (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) g (t - τ) d t

$(f \star g)(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}\! f(t)g(t-\tau)\,\mathrm{d}t$

Nel caso della correlazione incrociata non ha alcun significato sulla periodicità dei singoli segnali ma se per una data la correlazione è alta, indica lo sfasamento tra i segnali. $\tau$ $\tau$ $\tau$

— Sobek
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Come sopra Rayryeng, vorrei sapere per quale motivo specifico la risposta è stata sottoposta a voto negativo. Non è stato utile?

— sobek,

Pensavo che la tua risposta fosse perfettamente accettabile, soprattutto in senso matematico. Ho deciso di porre maggiormente l'accento sul modo in cui viene utilizzato praticamente. Ancora una buona risposta .... e sì, mi piacerebbe sapere perché sono stato anch'esso sottoposto a downgrade.

— Rayryeng,

Immagino che le nostre risposte non siano strettamente correlate alle aspettative. :-P

— sobek,

Non sono riuscito a decidere quale risposta accettare, quindi ho lanciato una moneta. Grazie a entrambi sobek e @rayryeng.

— Lenar Hoyt,

Certamente sei un individuo allegro, Jojek. Grazie per la tua indicazione, comunque.

— Sobek,

La correlazione tra 2 segnali significa che puoi dire qualcosa su uno di essi osservando l'altro.

Se intendi la correlazione standard, , significa che conosci le statistiche del secondo momento. $E[xy]$

— Royi
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