Risponderò prima alla domanda 2 e, si spera, ciò aiuterà a spiegare cosa sta succedendo con la domanda 1.
Quando campionate un segnale in banda base ci sono alias impliciti del segnale in banda base su tutti i multipli interi della frequenza di campionamento, come mostrato nella figura sotto.
L'immagine solida è il segnale originale in banda base e gli alias sono rappresentati dalle immagini tratteggiate. Ho scelto un segnale assimetrico (cioè complesso) per aiutare a dimostrare l'inversione che si verifica a multipli dispari della frequenza di campionamento.
Potresti chiedere: "Gli alias esistono davvero?" È un po 'una domanda filosofica. Sì, in senso matematico esistono, perché tutti gli alias (incluso il segnale in banda base) sono indistinguibili l'uno dall'altro.
Quando si esegue l'upsamping inserendo zeri tra i campioni originali, si sta effettivamente aumentando la frequenza di campionamento della frequenza di upsample. Quindi, se esegui il upcampionamento di un fattore due (inserendo uno zero tra ciascun campione), aumenti la frequenza di campionamento e la frequenza di Nyquist di un fattore 2, ottenendo l'immagine seguente.
Come puoi vedere, uno degli alias impliciti nell'immagine precedente è ora diventato esplicito. Se si FFT i campioni verrà visualizzato. Di seguito viene fornita una prova non rigorosa del fatto che la trasformazione DFT non cambia sostanzialmente.
Ora che hai i due alias espliciti, se vuoi solo l'alias in banda base, devi eliminare il filtro passa-basso per sbarazzarti dell'altro alias. A volte, tuttavia, le persone usano gli altri alias per fare la loro modulazione per loro. In tal caso, si passa al filtro passa-alto per eliminare il segnale in banda base. Spero che risponda alla domanda 2.
La domanda 1 è sostanzialmente l'inverso della domanda 2. Supponi di essere già nella situazione mostrata nella seconda immagine. Esistono due modi per ottenere il segnale in banda base desiderato. Il primo metodo consiste nel filtrare il filtro passa-basso (eliminando così l'alias superiore) e quindi decimando di un fattore due. Questo ti porta all'immagine n. 1.
Il secondo metodo consiste nel filtrare il filtro passa-alto (eliminando l'alias della banda base) e quindi decimando di un fattore due. La ragione per cui funziona è che stai intenzionalmente alias il segnale nella banda base, quindi, ancora una volta, ti porta all'immagine n. 1.
Perché vorresti farlo in questo modo? Perché nella maggior parte dei casi i segnali non saranno gli stessi, quindi puoi scegliere quale segnale vuoi, oppure eseguirli entrambi separatamente.
Se stai studiando l'elaborazione multi-rate, consiglio vivamente di ottenere "Elaborazione del segnale multirate per sistemi di comunicazione" di Frederic Harris. Fa davvero un ottimo lavoro nel spiegare la teoria senza trascurare la matematica e dare anche molti consigli pratici.
EDIT: il campionamento intenzionale di un segnale a una velocità inferiore a quella di Nyquist è chiamato sottocampionamento . Quello che segue è il mio tentativo di spiegare matematicamente il motivo per cui la FFT non cambia quando si esegue l'upgrade. "x [n]" è l'insieme originale di campioni, "u" è il fattore di ricampionamento e "x '[n]" è l'insieme di campioni ricampionato.
X[ k ]X'[ k ]==X===Σn = 0N- 1x [ n ] e- i 2 πk n / NΣn = 0u N- 1X'[ n ] e- i 2 πk n / u N, {'[ n ] = x [ n / u ] , n = m uΣn = 0N- 1X'[ u n ] e- i 2 πk u n / u NΣn = 0N- 1x [ n ] e- i 2 πk n / NX[ k ]X'[ n ] = 0 , n ≠ m u , m ∈ ( 0 .. N- 1 )
Ci scusiamo per la brutta formattazione. Sono un noob LaTex.
EDIT 2: avrei dovuto sottolineare che i DFT di x [n] e x '[n] non sono veramente identici. La frequenza di campionamento è più alta, il che, come ho spiegato nella parte precedente della risposta, fa "esporre" gli alias. Stavo cercando di sottolineare nel mio modo non matematico che i DFT sono, a parte la frequenza di campionamento, la stessa cosa.
