Qual è la

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Qual è la -transform della sequenza per ? $\mathcal Z$ $J_0(\alpha n)$ $n \in \mathbb{Z}$

La trasformata di Fourier a zero ordine della funzione di Bessel è noto per essere $^{\rm th}$ $J_0(\alpha x)$ per. Questo ha un polo a. Ciò implica che latrasformazione avrà anche un polo sul cerchio dell'unità? $\frac{2}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2}}$ $|\omega| < \alpha$ $\omega = \alpha$ $\mathcal Z$

MODIFICARE:

Il problema che sto esaminando riguarda campioni discreti della funzione di Bessel, ad esempio . Come devo procedere per determinare la sua -transform? $J_0(n)$ $\mathcal Z$

fourier-transform z-transform

— sauravrt
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Sono curioso, qual è l'applicazione per questo?

— nibot,

@nibot Sto lavorando con il modello di rumore isotropico e per il caso 2D, gli elementi della matrice di covarianza del rumore sono funzioni di Bessel di ordine zeroth di primo tipo. An gli autovalori della cov. la matrice è correlata alla trasformata Z della sequenza di funzioni di Bessel.

— sauravrt,

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L'espansione di Taylor per la funzione di Bessel del primo tipo e del 0 ° ordine è

J_{0} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{m}}{(m!)^{^{2}}} {(\frac{1}{2} x)}^{2 m}

$J_{0}\left ( x \right )= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{^{2}}}\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2m}$

(vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function )

Quindi puoi sostanzialmente approssimare questo come la trasformata Z di un polinomio.

— Hilmar
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È possibile applicare la definizione di -transform a un'espressione equivalente della funzione di Bessel o a un'approssimazione. $\mathcal Z$

La funzione equivalente può essere:

\begin{aligned} J_{0} (x) & = \frac{1}{π} \cos (x \cos ϕ) d ϕ \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2} \cos^{2} ϕ}{2!} + \frac{x^{4} \cos^{4} ϕ}{4!} - \frac{x^{6} \cos^{6} ϕ}{6!} + \dots) d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} J_0(x) &= \frac 1\pi\cos\left(x\cos\phi\right)d\phi\\ &=\frac 1\pi\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2\cos^2\phi}{2!}+\frac{x^4\cos^4\phi}{4!}-\frac{x^6\cos^6\phi}{6!}+\cdots\right)d\phi \end{align}$

Aggiornamento :

Maggiori informazioni sulle espressioni equivalenti sono disponibili qui .

— Luis Andrés García
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L'approssimazione per

J_{0} (x)

$J_0(x)$ manca il segno integrale nel primo passaggio. Non riesco a vederti per ottenere la trasformazione Z approssimativa. Ho avuto un'altra idea, usando l'approssimazione

J_{0} (x) = \sqrt{(} \frac{2}{x π} c o s (x - π / 4)

$J_0(x) = \sqrt(\frac{2}{x \pi} cos(x - \pi/4)$ . Ho provato questo approccio e ho finito con la trasformazione Z che coinvolge la funzione PolyLogarithmic. (Usato Mathematica).

— sauravrt,

Credo che l'approssimazione di cui sta parlando sia un'approssimazione per la funzione di Bessel modificata del primo tipo

I_{0} (z)

$I_0(z)$ (se la memoria mi serve). Il

z

$z$ è l'argomento della funzione, no

z

$z$ come in

z

$z$ -trasformare. Sta sottolineando che invece di valutare il

z

$z$ -trasforma direttamente la somma, potresti usare qualche altra forma che sia equivalente o approssimativamente equivalente alla funzione di interesse che potrebbe essere più facile da trasformare.

— Jason R

Il tuo apprezzamento per l'approssimazione era vero. Ho modificato la mia risposta.

— Luis Andrés García,