Risoluzione di un problema di convoluzione di un segnale 1D

Sto riscontrando problemi nel tentativo di risolvere questo esercizio. Devo calcolare la convoluzione di questo segnale:

y (t) = e^{- k t} u (t) \frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(π t)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

dove $u(t)$ è la funzione di Heavyside

bene ho applicato la formula che dice che la convoluzione di questi due segnali è uguale a

Y (f) = X (f) \cdot W (f)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

dove $X(f)$ è la trasformata di Fourier del primo segnale e $W(f)$ è la trasformata di Fourier del secondo segnale

bene la trasformata di Fourier di $e^{-kt}u(t)$ è

X (f) = \frac{1}{k + j 2 π f}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

Devo fare il secondo segnale il più uguale possibile a $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

quindi faccio questa operazione:

\frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(\frac{π t}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$ questo è uguale

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{t}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

giusto o no?

— Mazzy
fonte

Mi sembra corretto. Un avvertimento: alcune definizioni di sinc includono pi nei parametri, come hai fatto, e alcuni lo ipotizzano (cioè avrebbero scritto sinc (t / 10)). O uno va bene, purché tu capisca cosa stai facendo.

— Jim Clay,

Y (f)

$Y(f)$

Anche se mi rendo conto che questa è una risposta molto tardiva, cercherò comunque di rispondere a questa domanda perché la trovo istruttiva e anche perché il numero di voti suggerisce che questa domanda è di interesse generale per la comunità.

$x(t)$ $w(t)$

x (t) = e^{- k t} u (t), k > 0 w (t) = \frac{\sin (π t / 10)}{π t}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

$(x*w)(t)$ $x(t)$ $w(t)$ $x(t)$

X (j ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- k t} e^{- j ω t} d t = \frac{1}{k + j ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

$w(t)$ $\omega_0=2\pi f_0$

\begin{matrix} (1) & h_{L P} (t) = \frac{\sin ω_{0} t}{π t} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

$w(t)$ $w(t)$ $\omega_0=\pi/10$

W (j ω) = u (ω + ω_{0}) - u (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$

u (ω)

$u(\omega)$

$y(t)=(x*w)(t)$ $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

y (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) W (j ω) e^{j ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + j ω} e^{j ω t} d ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

$\text{Ei}(x)$ $\text{Si}(x)$ $\text{Ci}(x)$

$y(t)$ $k=0.05$ $\omega_0=\pi/10$ inserisci qui la descrizione dell'immagine

$x(t)$ $y(t)$ $y(t)$ $t<0$ $\omega_0=\pi$ $\pi/10$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

— Matt L.
fonte

Forse una migliore interpretazione sarebbe un input di funzione sincero applicato a un filtro passa-basso del primo ordine fisicamente realizzabile la cui risposta all'impulso è l'esponenziale in decadimento?

— Dilip Sarwate,

Certo, questa è un'altra interpretazione valida, ma perché meglio? OK, il sistema può essere realizzato ma non il segnale di ingresso. Un filtro passa basso ideale è un sistema standard che viene spesso analizzato e utilizzato a scopo istruttivo anche se non può essere realizzato. Comunque, per fortuna il risultato rimane lo stesso :)

— Matt L.