Perché la trasformata di Fourier di un pettine Dirac è un pettine Dirac?

16

Questo non ha senso per me, perché la disuguaglianza di Heisenberg afferma che ~ 1. $\Delta t\Delta \omega$

Pertanto quando hai qualcosa di perfettamente localizzato nel tempo, ottieni qualcosa di completamente distribuito in frequenza. Da qui la relazione di base dove è l' operatore di trasformazione di Fourier . $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ $\mathfrak{F}$

Ma per il pettine Dirac , applicando la trasformata di Fourier, ricevi un altro pettine Dirac. Intuitivamente, dovresti anche ottenere un'altra linea.

Perché questa intuizione fallisce?

fourier-transform

— Carlos - the Mongoose - Danger
fonte

13

Credo che l'errore sia credere che un pettine Dirac sia localizzato nel tempo. Non è perché è una funzione periodica e come tale può avere solo componenti di frequenza a multipli della sua frequenza fondamentale, cioè in punti di frequenza discreti. Non può avere uno spettro continuo, altrimenti non sarebbe periodico nel tempo. Proprio come qualsiasi altra funzione periodica, un pettine di Dirac può essere rappresentato da una serie di Fourier, ovvero come una somma infinita di esponenziali complessi. Ogni esponenziale complesso corrisponde a un impulso di Dirac nel dominio della frequenza a una frequenza diversa. Sommando questi impulsi di Dirac si ottiene un pettine di Dirac nel dominio della frequenza.

— Matt L.
fonte

Sì, né il pettine periodico è localizzato nella rispettiva variabile indipendente (tempo / frequenza).

— Peter K.

11

La tua intuizione fallisce perché stai iniziando con ipotesi sbagliate. L'incertezza di Heisenberg non dice ciò che pensi che dica. Come hai già detto nella tua domanda, è una disuguaglianza . Per essere precisi, lo è

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

Non vi è alcun motivo per cui il prodotto di incertezza debba essere vicino al limite inferiore per tutti i segnali. In effetti, gli unici segnali che raggiungono questo limite più basso sono gli atomi di Gabor. Per tutti gli altri segnali, aspettati che sia più grande e forse anche infinito.

— Jazzmaniac
fonte

1

Giusto, ma l'errore principale è pensare che un pettine Dirac sia localizzato nel tempo. Non è perché è periodico. Quindi il teorema dell'incertezza non dice nulla di utile su un pettine Dirac.

— Matt L.

@MattL., Non è così che capisco la domanda originale. Penso che stia effettivamente sostenendo che il treno Dirac è completamente delocalizzato nel suo dominio nativo e quindi Fourier dovrebbe trasformarsi in qualcosa di molto localizzato.

— Jazzmaniac,

1

OK, sembra che ci sia un malinteso su cosa significhi OP per "un'altra linea". Pensavo che questo si riferisse a uno spettro piatto (proprio come lo spettro di un impulso di Dirac a cui si riferiva prima). Ma hai pensato che questo si riferisca a una linea spettrale, cioè a una singola frequenza. Almeno ora capisco come la tua risposta potrebbe rispondere alla domanda del PO.

— Matt L.

1

@MattL., In realtà pensavo che intendesse la solita rappresentazione grafica delle distribuzioni di Dirac quando scrive "line". In ogni caso, dovrà chiarire in quanto la domanda può davvero essere letta in almeno due modi diversi.

— Jazzmaniac,

1

bene, la definizione "standard" è un'affermazione fisica relativa alle incertezze di momento e posizione (in particolare deviazioni standard) e ha un

in essa. e anche così, in questo caso, devi definire cosa si intende per "

" e "

". quella costante (che specifichi come

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) non può essere troppo lontano dall'unità (nella scala logaritmica), ma non deve essere

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

tranne per una definizione specifica di "

" e "

".

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— robert bristow-johnson,

6

gli ingegneri elettrici giocano un po 'alla svelta con la funzione delta di Dirac, che i matematici insistono non è una funzione (o, almeno, non una funzione "normale", ma una "distribuzione"). il fatto matematico è che se $f(t)=g(t)$ "quasi ovunque" (che significa ad ogni valore di $t$ eccezione di un numero numerabile di valori discreti), allora

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

bene le funzioni $f(t)=0$ e $g(t)=\delta(t)$ sono uguali ovunque tranne a $t=0$ , eppure noi ingegneri elettrici insistiamo sul fatto che i loro integrali sono diversi. ma se accantoni questa piccola (e, a mio avviso, non pratica) differenza, la risposta alla tua domanda è:

la funzione di pettine di Dirac
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ è una funzione periodica del periodo $T$ e quindi ha una serie di Fourier: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
se elimini i coefficienti, $c_n$ , della serie di Fourier otterrai:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

così è la serie di Fourier per il pettine Dirac

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

il che significa che stai solo riassumendo un gruppo di sinusoidi di uguale ampiezza.

la trasformata di Fourier di una singola sinusoide complessa è:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

e c'è questa proprietà di linearità rispetto alla trasformata di Fourier. il resto della prova è un esercizio lasciato al lettore.

— Robert Bristow-Johnson
fonte

1

@Jazzmaniac, questa è una menzogna. quando sono mai stato condiscendente verso i matematici? (io penso che stai proiettando un po '.) A proposito, sono passati 38 anni da quando ho avuto 2 semestri di analisi funzionale a livello di laurea. non ricordo tutto, ma di sicuro ricordo cos'è uno spazio metrico, uno spazio metrico normato (penso che a volte fossero chiamati "spazi di Banach") e spazi interni del prodotto (a volte chiamati "spazi di Hilbert") e che funzionale è (mappe da una di queste a un numero). e so quali sono gli spazi lineari. circa

, non mi dispiace che siano nudi.

δ (t)

$\delta(t)$

— robert bristow-johnson,

Continui con un argomento sbagliato che suggerisce che i matematici non ottengono 1 quando si integrano su una distribuzione di Dirac. Bene, non puoi dimostrare di meglio di non aver capito la distribuzione di Dirac, anche se hai preso una lezione di analisi funzionale. Non ha bisogno di ingegneri elettrici come te per "riparare" la matematica. E continuerò a segnalartelo finché non smetterai di parlare di matematici del genere. È interamente una tua scelta.

— Jazzmaniac,

anche questa è una menzogna, @Jazzmaniac. Sto dicendo che, in linea con quello che noi matematici dire, la funzione delta di Dirac non è in realtà una funzione (anche se noi ingegneri elettrici non preoccuparti questa distinzione e trattare con esso come se fosse una funzione) perché se fosse un funzione che era zero quasi ovunque, l'integrale sarebbe zero. perché continui a travisarmi? qual è l'ascia che stai macinando?

— robert bristow-johnson,

@ robertbristow-johnson "gli ingegneri elettrici giocano un po 'veloci e sciolti con la funzione delta Dirac." Paul Dirac era un ingegnere elettrico. Claude Shannon era anche un ingegnere elettrico. Ti ammonisco di fare dichiarazioni così generali e inaccurate. Sostieni di essere un ingegnere elettrico e comprendi chiaramente la teoria della distribuzione.

— Mark Viola,

quasi tutti i libri di testo di ingegneria elettrica universitari sulla teoria dei sistemi lineari o segnali e sistemi o nomi simili, introdurranno e tratteranno il Dirac Delta come un caso limitante di un "delta nascente" . ad es .:

o qualche altra funzione di impulso dell'area dell'unità che è possibile rendere magro. non sarei sorpreso che in articoli pubblicati persone come Shannon o Dirac (non lo sapessero) si sarebbero attenute ai fatti conservativi:

e

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$

.

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$

— robert bristow-johnson

1

Proverò a dare un'intuizione. Il modo in cui potremmo probabilmente pensare è: "Un delta di Dirac ci dà un dominio in frequenza 1. Ora do un numero infinito di delta di Dirac. Non dovrei avere un DC più alto?" Ora vediamo se aggiungendo tutti quei componenti di frequenza menzionati nel pettine Dirac nel dominio della frequenza (FD), otteniamo un altro pettine Dirac nel dominio del tempo (TD). Stiamo aggiungendo forme d'onda continue e ottenendo delta in punti discreti. Suona strano.

$\omega_0$ $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$

Consideriamo i punti nel dominio del tempo corrispondenti a $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$

$cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ $\pi$ $cos(kn)$ is periodic? We already know that the sum of samples will be zero periodically based on value of k. Hence, sum of all the samples of $cos(kn)$ will give us zero for any value of k, except $k = 2\pi$ 's multiple.

Returning back to our original problem : We now take an arbitrary $t=t_0 \neq 2r\pi$ . Now we have $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ ....as the value at $t=t_0$ . But we have already proved this infinite sum =0 for any t except $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$ , where all these cosines add up to give dirac deltas.

— Subramanian T R
fonte