Qual è "l'effetto del letto ad acqua" nella progettazione del sistema di controllo?

Di recente mi sono imbattuto in alcune note sull'effetto "Waterbed" in alcune note di A. Megretski per un corso del MIT sui "sistemi di controllo multivariato". Ecco un estratto:

Un effetto comune, generalmente associato a zero e poli instabili dell'impianto a circuito aperto, rende teoricamente impossibile rendere certe "piccole" funzioni di trasferimento ad anello chiuso simultaneamente a tutte le frequenze: se l'ampiezza della risposta in frequenza viene ridotta in una parte dello spettro , potrebbe essere necessario ingrandirlo nell'altra parte. Questo effetto, a volte chiamato effetto waterbed , può essere spiegato matematicamente in termini di disuguaglianze integrali imposte alle funzioni di trasferimento ad anello chiuso. Alla base di tali risultati c'è la caratterizzazione affine di tutte le possibili risposte a circuito chiuso, nonché la relazione integrale di Cauchy per le funzioni analitiche.

Non credo di averne mai sentito parlare prima. Qualcuno potrebbe spiegare l'effetto in termini più pratici? Quando potrò riscontrare questo effetto nella pratica?

feedback control-systems

— nibot
fonte

Se capisco questo documento, per favore correggimi se sbaglio:

A common effect, usually associated with unstable zeroes and poles of the open
loop plant, makes it theoretically impossible to make certain closed loop transfer 
functions “small” simultaneously at all frequencies:

Si tratta della cancellazione di Pole Zero nei sistemi di controllo realizzabili. Essenzialmente:

\frac{1}{S - α}

$\frac{1}{s-\alpha}$

è instabile per una risposta al passaggio tuttavia:

\frac{S - α_{1}}{S - α_{2}} = 1

$\frac{s-\alpha_1}{s-\alpha_2} = 1$

α_{1} = α_{2}

$\alpha_1 = \alpha_2$

che è stabile; tuttavia, a causa della variazione dei parametri (tolleranza resistore / condensatore) è impossibile cancellare un polo instabile. alpha_1 e alpha_2 potrebbero non allinearsi mai perfettamente per annullarsi a vicenda. (forse attraverso i controlli digitali)

if amplitude of the frequency 
response is reduced in one part of the spectrum, it may have to get larger in the other 
part. This effect, sometimes called the waterbed effect, can be explained mathematically
 in terms of integral inequalities imposed on the closed loop transfer functions.

Fondamentalmente, se alpha_1 aumenta, questo "effetto del letto ad acqua" è causato dal fatto che alpha_2 trascina verso il basso la risposta in frequenza più a lungo prima che alpha_1 zero entri in gioco.

essenzialmente la risposta in frequenza sarebbe simile a questa se non corrispondessero:

--------\
         \
          \-------------

invece di questo quando sono abbinati esattamente come questo:

----------------------------------

(Cioè, una risposta piatta)

Se si verifica l'opposto (alpha_2 viene ingrandito, dovresti vedere l'effetto opposto di questa risposta)

             -----------------
             /
            /
      -----/

In the basis of such results is the affine characterization of all possible 
closed loop responses, as well as the Cauchy integral relation for analytical     
functions.

Risposto da questo documento:

— Cybermen
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