Differenza tra densità spettrale di potenza, potenza spettrale e rapporti di potenza?

Quale 'esattamente' è la densità spettrale di potenza per il segnale discreto? Ho sempre supposto che il fatto di prendere la trasformata di Fourier del segnale, e quindi il rapporto tra l'ampiezza della gamma di frequenza desiderata sull'intera gamma di frequenza, dia il rapporto di potenza per quella gamma di frequenza che è uguale alla densità spettrale di potenza. È sbagliato? Leggere un articolo dello studente mi ha confuso perché dice di calcolare PSD e quindi anche "poteri spettrali assoluti e relativi nelle bande desiderate". Sono diversi? Se sì, come si calcola?

psd power-spectral-density

— anasimtiaz
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Non ho idea di cosa dia il tuo calcolo della densità spettrale di potenza poiché non riesco a capirla.

Se un segnale ha trasformata di Fourier , la sua densità spettrale di potenza è . La potenza spettrale assoluta nella banda di frequenze da Hz a Hz è la potenza totale in quella banda di frequenze, ovvero la potenza totale erogata all'uscita di un filtro passa-banda ideale (guadagno unitario) che passa tutte le frequenze da Da Hz a Hz e ferma tutto il resto. Pertanto, $x(t)$ $X(f)$ $|X(f)|^2 = S_X(f)$ $f_0$ $f_1$ $f_0$ $f_1$

Absolute Spectral Power in Band = \int_{- f_{1}}^{- f_{0}} S_{X} (f) d f + \int_{f_{0}}^{f_{1}} S_{X} (f) d f .

$\text{Absolute Spectral Power in Band} = \int_{-f_1}^{-f_0} S_X(f)\,\mathrm df + \int_{f_0}^{f_1} S_X(f)\,\mathrm df.$ La potenza spettrale relativa misura il rapporto tra la potenza totale nella banda (cioè la potenza spettrale assoluta) e la potenza totale nel segnale. Pertanto,

Relative Spectral Power in Band = \frac{\int_{- f_{1}}^{- f_{0}} S_{X} (f) d f + \int_{f_{0}}^{f_{1}} S_{X} (f) d f}{\int_{- \infty}^{\infty} S_{X} (f) d f} .

$\text{Relative Spectral Power in Band} = \frac{\displaystyle\int_{-f_1}^{-f_0} S_X(f)\,\mathrm df + \int_{f_0}^{f_1} S_X(f)\,\mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} S_X(f)\,\mathrm df}.$

— Dilip Sarwate
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Come nota aggiuntiva, è anche possibile definire la densità spettrale di potenza di un processo casuale stazionario ad ampio senso come trasformazione di Fourier della funzione di autocorrelazione del processo . Questo è noto come teorema di Wiener-Khinichin .

— Jason R,

@JasonR Non sono entrato in quell'aspetto della questione, ma ovviamente è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione del segnale deterministico dove

S_{x} (f) = | X (f) |^{2} = X (f) X^{*} (f)

$S_x(f) = |X(f)|^2 = X(f)X^*(f)$

R_{x} (τ)

$R_x(\tau)$

x (t)

$x(t)$

R_{x} (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t - τ) d t

$R_x(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t+\tau)\,\mathrm dt = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t-\tau)\,\mathrm dt$

— Dilip Sarwate

Un nitpick è che penso che tu abbia bisogno di coniugati sui termini , ma puoi fare questo caso per un segnale deterministico generale ? Non c'è garanzia che non sia una funzione di , che per il caso stocastico è fornito dalla clausola WSS.

x (t \pm τ)

$x(t \pm \tau)$

x (t)

$x(t)$

R_{x} (τ)

$R_x(\tau)$

t

$t$

— Jason R,

@JasonR I coniugati sono necessari se può essere complesso, non altrimenti, quindi OK, inserisci i coniugati e concordiamo sul fatto che quel particolare nit è stato raccolto. Ma come definito sopra non può essere una funzione di . Si noti che è una variabile di integrazione che scompare quando vengono utilizzati i limiti. Per i segnali stocastici, è definito come , non come per i segnali deterministici. è una funzione della differenza per i processi WSS anziché essere una funzione dei singoli valori di e

x (t)

$x(t)$

R_{x} (τ)

$R_x(\tau)$

t

$t$

t

$t$

R_{X} (t_{1}, t_{2})

$R_X(t_1,t_2)$

E [X (t_{1}) X (t_{2})]

$E[X(t_1)X(t_2)]$

R_{X} (t_{1}, t_{2})

$R_X(t_1,t_2)$

t_{1} - t_{2}

$t_1-t_2$

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$ .

— Dilip Sarwate,

Ha senso. Sono sulla stessa pagina ora.

— Jason R,