Significato della parte reale e immaginaria della trasformata di Fourier di un segnale

Supponiamo che sia un segnale del tempo , sua trasformata di Fourier della variabile . $f$ $t$ $F$ $v$

È noto che in coordinate polari, ci dice quanto la frequenza è presente sul segnale e ci dice quanto il contributo di questa frequenza è sfasato. $|F(v)|$ $v$ $Arg(F(v))$

Quali informazioni ci dicono la sua parte reale e immaginaria?

O se riformulo la mia domanda: possiamo dare un'interpretazione della trasformata di Fourier in coordinate cartesiane come possiamo fare in coordinate polari?

fourier-transform

— user2682877
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Risposte:

Le parti reali e immaginarie della trasformata di Fourier di un segnale sono le trasformate di Fourier delle parti pari e dispari del segnale, rispettivamente: $x(t)$

X_{R} (ω) = \frac{1}{2} [X (ω) + X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2} [x (t) + x^{*} (- t)] = x_{e} (t) X_{I} (ω) = \frac{1}{2 j} [X (ω) - X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2 j} [x (t) - x^{*} (- t)] = - j \cdot x_{o} (t)

$X_R(\omega)=\frac12[X(\omega)+X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac12[x(t)+x^*(-t)]=x_e(t)\\ X_I(\omega)=\frac{1}{2j}[X(\omega)-X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac{1}{2j}[x(t)-x^*(-t)]=-j\cdot x_o(t)$

$X_R(\omega)$ $X_I(\omega)$ $X(\omega)$ $x_e(t)$ $x_o(t)$ $x(t)$

— Matt L.
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Mi dispiace essere denso, ma ancora non capisco. Cosa intendi con "parti pari e dispari" di un segnale? (Inoltre non sono sicuro di cosa significhi la doppia freccia nella tua notazione.)

— natevw,

Aggiornamento: forse questo ha qualcosa a che fare con le funzioni pari e dispari, come indicato qui: cs.unm.edu/~williams/cs530/symmetry.pdf ?

— natevw,

x (t) = x_{e} (t) + x_{o} (t)

$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$

x_{e} (t)

$x_e(t)$

x_{o} (t)

$x_o(t)$

Grazie, questo chiarisce la tua risposta unita alle diapositive introduttive della presentazione "simmetria" che ho collegato sopra!

— natevw,

E che cos'è j nella parte immaginaria / strana?

— sssheridan,

Se ci sono frequenze uguali ma una è negativa dell'altra, queste si annulleranno e non ci sarà alcun segnale immaginario.

— Gamaliele
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-1

$e^{j\omega t}$ $\omega$

— Seetha Rama Raju Sanapala
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Mentre il tuo punto sulla parte resistiva / parte reattiva nei sistemi lineari può essere davvero interessante, nella forma attuale, la tua risposta è disordinata e difficilmente comprensibile. Sto effettuando il downvoting

— Antoine Bassoul il