Qual è la relazione tra il sigma nel Laplaciano di Gaussiano e i due sigmi nella Differenza di Gaussiani?

12

Comprendo che un filtro Laplaciano di Gaussiano può essere approssimato da un filtro Differenza di Gaussiano e che il rapporto dei due sigmi per quest'ultimo dovrebbe essere 1: 1,6 per la migliore approssimazione. Tuttavia, non sono sicuro di come i due sigmi nella differenza di gaussiani siano in relazione con il sigma per il laplaciano di gaussiano. Il sigma più piccolo nel primo è uguale al sigma del secondo? Il sigma più grande è? O la relazione è qualcos'altro?

image-processing gaussian

— visivo-cinetica
fonte

> Comprendo che un filtro Laplaciano di Gaussiano può essere approssimato da un filtro Differenza di Gaussiano e che il rapporto dei due sigmi per quest'ultimo dovrebbe essere 1: 1,6 per la migliore approssimazione. scusa con quale riferimento lo sapevi?

Ciao, penso che questa domanda si adatterebbe qui - area51.stackexchange.com/proposals/86832/… Supporterebbe anche la comunità. Grazie.

— Royi,

10

Comprendo che un filtro Laplaciano di Gaussiano può essere approssimato da un filtro Differenza di Gaussiano e che il rapporto dei due sigmi per quest'ultimo dovrebbe essere 1: 1,6 per la migliore approssimazione

In teoria, minore è il rapporto tra due sigmi, migliore è l'approssimazione. In pratica, ad un certo punto otterrai errori numerici, ma finché utilizzi numeri in virgola mobile, valori inferiori a 1.6 ti daranno una migliore approssimazione.

Per illustrare, ho tracciato una sezione trasversale di LoG e DoG per alcuni valori di k in Mathematica:

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Come puoi vedere, k = 1.6 non è un'approssimazione ideale. Ad esempio, k = 1.1 darebbe un'approssimazione molto più vicina.

Ma di solito vuoi calcolare approssimazioni LoG per un intervallo di sigmi. (Altrimenti, perché preoccuparsi dell'approssimazione DoG? Il calcolo di una singola immagine filtrata LoG non è più costoso del calcolo di una singola immagine filtrata DoG.) Quindi il valore di k viene solitamente scelto in modo da poter calcolare una serie di filtri gaussiani immagini con sigma s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ..., quindi calcola le differenze tra gaussiani adiacenti. Quindi se scegli una k più piccola, dovresti calcolare più "strati" di gaussiani per lo stesso intervallo sigma. k = 1.6 è un compromesso tra il voler una stretta approssimazione e il non voler calcolare troppi gaussiani diversi.

Tuttavia, non sono sicuro di come i due sigmi nella differenza di gaussiani siano in relazione con il sigma per il laplaciano di gaussiano. Il sigma più piccolo nel primo è uguale al sigma del secondo?

$t=\sigma ^2$ $\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$ $\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$ $\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

— Niki Estner
fonte

mi dispiace se sbaglio, ma non è che calcolare LoG in realtà è più costoso di DoG. poiché gaussiano può essere separato in 2 filtri 1D, il che significa che la complessità sarà O lineare (2n) invece del polinomio O (n ^ 2)

— user1916182

@ user1916182: vero, un filtro LoG non è separabile, di per sé. Ma nessuno dei due è un filtro DoG. Ma sono entrambi somme di due filtri separabili (due gaussiani con scala diversa per il DoG, due filtri derivati gaussiani del 2 ° ordine per LoG). È fare risparmiare tempo con il cane se è possibile utilizzare la "più grande" delle due gaussiane per il livello di scala successiva, in modo da avere per calcolare n + 1 gaussiane per n scale, in contrasto con 2 * n filtri derivati gaussiana per n scale log .

— Niki Estner,

3

Forse le formule qui possono aiutarti.

Poiché la rappresentazione dello spazio di scala soddisfa l'equazione di diffusione, il LoG può essere calcolato come differenza tra due sezioni di spazio di scala.

Pertanto, quando deriviamo la formula DoG, per prima cosa approssimiamo il LoG con una differenza finita. Penso che il rapporto specifico per sigma derivi dal fatto che viene preso un gradino unitario in scala per approssimare LoG in primo luogo.

— Libor
fonte

Grazie, ma ho già visto quelli. Non sembrano dirmi se sigma o k * sigma è il valore corrispondente al parametro t (che è lo stesso del valore sigma per l'equazione Laplaciana di Gaussiana).

— visual-cinetico,

1

È a metà strada tra: s <t <k * s. Poiché la differenza (y (a) - y (b)) / (ba) si avvicina (quando b - a -> 0) la derivata in (a + b) / 2. Tuttavia, poiché non stai prendendo il limite di k-> 1, questa è solo un'approssimazione e non puoi davvero individuare il sigma migliore (a meno che tu non definisca un criterio di ottimizzazione specifico).

— nimrodm,