Capisco la trasformata di Fourier che è un'operazione matematica che ti consente di vedere il contenuto di frequenza di un dato segnale. Ma ora, nella mia comunicazione. naturalmente, il professore ha introdotto la Trasformazione di Hilbert.

Capisco che è in qualche modo collegato al contenuto di frequenza dato il fatto che la Trasformazione di Hilbert sta moltiplicando un segno FFT per $-j\operatorname{sign}(W(f))$ o contorcendo la funzione temporale con $1/\pi t$ .

Qual è il significato della trasformazione di Hilbert? Quali informazioni otteniamo applicando quella trasformazione a un determinato segnale?

Un'applicazione della trasformata di Hilbert è ottenere un cosiddetto segnale analitico. Per segnale $s(t)$ , la sua trasformata di Hilbert s ( t ) è definita come una composizione:$\hat{s}(t)$

Il segnale analitico che otteniamo è valutato in modo complesso, quindi possiamo esprimerlo in notazione esponenziale:

dove:

$A(t)$ è l'ampiezza istantanea (inviluppo)

$\psi(t)$ è la fase istantanea.

Quindi, come sono utili?

L'ampiezza istantanea può essere utile in molti casi (è ampiamente usata per trovare l'inviluppo di semplici segnali armonici). Ecco un esempio per una risposta all'impulso:

In secondo luogo, in base alla fase, possiamo calcolare la frequenza istantanea:

Il che è di nuovo utile in molte applicazioni, come il rilevamento della frequenza di un tono ampio, i motori rotanti, ecc.

Altri esempi di utilizzo includono:

• Campionamento di segnali a banda stretta nelle telecomunicazioni (principalmente utilizzando filtri Hilbert).

• Imaging medico.

• Elaborazione di array per la direzione di arrivo.

• Analisi della risposta del sistema.

$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$ mantiene tutte le informazioni iniziali, più la sua "ampiezza" è direttamente un modulo di 1. Tutto quanto sopra richiede attenzione, poiché entra in gioco la nozione di limitatezza della banda e località.

La trasformazione di Hilbert (e la trasformazione di Riesz in dimensioni superiori) potrebbe essere uno strumento più fondamentale. Mi piace il prologo del capitolo 2 in Explorations in Harmonic Analysis with Applications to Complex Function Theory and the Heisenberg Group , di Steven G. Krantz:

Prologo: la trasformazione di Hilbert è, senza dubbio, l'operatore più importante in analisi. Sorge in così tanti contesti diversi e tutti questi contesti sono intrecciati in modi profondi e influenti. Ciò a cui tutto si riduce è che esiste un solo integrale singolare nella dimensione 1, ed è la trasformazione di Hilbert. La filosofia è che tutte le questioni analitiche significative si riducono a un integrale singolare; e nella prima dimensione c'è solo una scelta.

Le applicazioni nell'elaborazione di segnali / immagini sono numerose, probabilmente per le sue proprietà fondamentali: stima istantanea di ampiezza / frequenza, costruzione di filtri causali solo per ampiezza (relazioni di Kramers-Krönig), wavelet direzionali 2D a ridondanza ridotta, rilevamento del bordo invariante a spostamento, eccetera.

Vorrei anche suggerire i due volumi di F. King, 2009, Hilbert trasforma .

Una trasformazione (FT o Hilbert, ecc.) Non crea nuove informazioni dal nulla. Pertanto, le "informazioni ottenute" o la dimensione aggiunta nel risultante segnale del complesso analitico fornito da una trasformata di Hilbert di un segnale 1D / reale, è una forma di riepilogo dell'ambiente locale di ciascun punto di quel segnale, unito a quello punto.

Informazioni come la fase locale e l'ampiezza dell'inviluppo sono in realtà informazioni su una certa larghezza o estensione (fino a un'estensione infinita) di un segnale che circonda ciascun punto locale. La trasformata di Hilbert, nel generare un componente di un segnale analitico complesso da un segnale reale 1D, compatta alcune informazioni da un'estensione circostante del segnale su ogni singolo punto di un segnale, consentendo in tal modo di prendere più decisioni (tale demodulazione un po ' , rappresentando graficamente un'ampiezza dell'inviluppo, ecc.) in corrispondenza di ciascun punto o campione locale (ora complesso), senza dover eseguire nuovamente la scansione e / o elaborare una nuova finestra (wavelet, finestre Goertzel, ecc.) di una certa larghezza sul segnale in corrispondenza di ciascun punto.

Il segnale analitico prodotto dalla trasformata di Hilbert è utile in molte applicazioni di analisi del segnale. Se si passa prima il filtro passa-banda, la rappresentazione del segnale analitico fornisce informazioni sulla struttura locale del segnale:

• $\pi$$\pm \pi/2$
• l'ampiezza indica la forza della struttura nel punto, indipendentemente dalla simmetria (fase).

Questa rappresentazione è stata utilizzata per

• rilevamento delle caratteristiche tramite energia locale (ampiezza)
• classificazione delle caratteristiche usando la fase
• rilevamento delle caratteristiche tramite congruenza di fase

Si è inoltre esteso a dimensioni superiori utilizzando la trasformata di Riesz, ad esempio il segnale monogenico.

L'implementazione di una trasformazione di Hilbert ci consente di creare un segnale analitico basato su un segnale originale con valori reali. E nel mondo delle comunicazioni possiamo usare il segnale analitico per calcolare facilmente e con precisione l'intensità istantanea del segnale originale con valori reali. Tale processo viene utilizzato nella demodulazione AM. Anche dal segnale analitico possiamo calcolare facilmente e con precisione la fase istantanea del segnale originale con valori reali. Tale processo viene utilizzato sia in fase che in demodulazione FM. Il tuo professore ha ragione nel coprire la trasformazione di Hilbert perché è così dannatamente utile nei sistemi di comunicazione.

Ottime risposte già, ma volevo aggiungere che convertire un segnale nella sua versione analitica è facile nel dominio digitale (il filtro a mezza banda richiesto ha metà dei suoi coefficienti pari a zero), ma una volta lì, la frequenza di campionamento può essere ridotta metà, essenzialmente dividendo l'elaborazione in percorsi reali e immaginari. Ovviamente, c'è un costo qui e alcuni termini incrociati devono essere gestiti, ma generalmente è utile nelle implementazioni hardware quando la frequenza di clock è un fattore.

Come già spiegato in altre risposte, la trasformata di Hilbert viene utilizzata per ottenere un segnale anaytic che può essere utilizzato per trovare l'inviluppo e la fase del segnale.

Un altro modo di guardare la trasformazione di Hilbert è nel dominio della frequenza. Poiché il segnale reale ha identici componenti di frequenza positiva e negativa, quindi in analisi queste informazioni sono ridondanti.

La trasformazione di Hilbert viene utilizzata per eliminare la parte di frequenza negativa e raddoppiare l'entità della parte di frequenza positiva (per mantenere la stessa potenza).

Qui, il filtro Hilbert Transform progettato è un passa-banda in natura che passa frequenze da 50 MHz a 450 MHz. L'ingresso è la somma di due segnali sinusoidali con frequenze pari a 200 MHz e 500 MHz.

Dal grafico PSD, possiamo vedere che la componente di frequenza negativa del segnale a 200 MHz viene attenuata mentre il segnale a 500 MHz passa come tale.

Questa domanda ha già molte risposte eccellenti, ma volevo includere questo semplice esempio e spiegazione da questa pagina che ha chiarito in modo massiccio il concetto e l'utilità della trasformazione di Hilbert:

$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ $Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ ${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$$z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$ sono stati "filtrati".

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