La trasformata di Laplace è ridondante?

La trasformata di Laplace è una generalizzazione della trasformata di Fourier poiché la trasformata di Fourier è la trasformata di Laplace per (ovvero è un numero immaginario puro = zero parte reale di ). $s = j\omega$ $s$ $s$

Promemoria:

Trasformata di Fourier: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Trasformata di Laplace: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

Inoltre, un segnale può essere esattamente ricostruito dalla sua trasformata di Fourier e dalla sua trasformata di Laplace.

Poiché solo una parte della trasformazione di Laplace è necessaria per la ricostruzione (la parte per cui ), il resto della trasformazione di Laplace ( ) sembra essere inutile per la ricostruzione ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

È vero?

Inoltre, è possibile ricostruire il segnale per un'altra parte della trasformata di Laplace (ad es. Per o )? $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

E cosa succede se calcoliamo una trasformata di Laplace di un segnale, cambiando quindi solo un punto della trasformata di Laplace e calcoliamo la trasformata inversa: torniamo al segnale originale?

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
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Perché il downvote? Anche se la domanda può contenere false conclusioni è qualcosa che puoi affrontare molto bene in un commento o una risposta. Non è molto costruttivo il downvoting silenzioso di una domanda in cui qualcuno apparentemente ha fatto qualche sforzo.

— Jazzmaniac,

ho votato a favore della domanda. se sto pensando in termini di frequenza angolare

, quindi mi piace dire Fourier Transform:

e trasformata di Laplace:

. allora è abbastanza chiaro che sono la stessa cosa (sorta).

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} X (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (S) = \int_{- \infty}^{\infty} X (t) e^{- S t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— robert bristow-johnson,

La trasformata di Fourier e di Laplace ovviamente hanno molte cose in comune. Tuttavia, ci sono casi in cui è possibile utilizzare solo uno di essi o in cui è più conveniente utilizzare l'uno o l'altro.

Prima di tutto, anche se nelle definizioni si sostituisce semplicemente con o viceversa per passare da una trasformata all'altra, ciò generalmente non può essere fatto se si considera la trasformata di Laplace o la trasformata di Fourier di una funzione. (Uso indici diversi perché le due funzioni possono essere diverse per la stessa funzione di dominio temporale). Esistono funzioni per le quali esiste solo la trasformata di Laplace, ad es. , $s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ , dove è la funzione del passo Heaviside. Il motivo è che l'integrale nella definizione della trasformata di Laplace converge solo per , il che implica che l'integrale corrispondente nella definizione della trasformata di Fourier non converge, cioè la trasformata di Fourier non esiste in questo Astuccio. $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$

$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

$s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

$s$

Dai anche un'occhiata a questa risposta a una domanda correlata.

— Matt L.
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La trasformata di Fourier è uno strumento utile per analizzare i sistemi ideali (non causali, instabili): diresti causale e stabile?

— Vinz,

@ user17604: intendevo quello che ho scritto. Naturalmente puoi anche usarlo per sistemi causali e stabili (e non ideali). Ma un uso importante è l'analisi del sistema ideale (come i filtri selettivi in frequenza ideali), in cui la trasformata di Laplace non può essere utilizzata.

— Matt L.

@MattL. Ottima risposta, ma ho trovato confuso "l'analisi dei sistemi LTI con condizioni iniziali diverse da zero", come può un sistema LTI avere condizioni iniziali diverse da zero?

@ 0MW: Sì, probabilmente avrei dovuto dire "sistemi altrimenti LTI (se inizialmente a riposo)".

— Matt L.