Campi matematici necessari per la progettazione di filtri digitali

Voglio imparare il design del filtro digitale. La mia conoscenza della matematica è a livello di scuola superiore. Posso imparare la matematica attraverso Internet. Quindi, quali campi matematici devo imparare?

Se hai le palle per imparare la matematica da solo. I due campi della matematica che devi dominare per poter progettare i filtri sono: Analisi funzionale e ottimizzazione convessa. Praticamente ogni progetto di filtro è il risultato di un problema di ottimizzazione, come: Trova questo insieme di numeri modo tale che il valore assoluto della trasformata di Fourier in queste regioni di frequenza abbia la seguente forma (tra questi due limiti quando la frequenza è compresa tra 0Hz e 320Hz, e tra questi altri due quando la frequenza è maggiore di 340Hz). Oppure, qual è l'insieme di numeri tale che quando si applica la convoluzione discreta della sequenza dei numeri a questo segnale , il risultato è questo segnale . E ci sono molti altri modi per definirli.$N$$N$$x(n)$$y(n)$

E avrai bisogno di un'analisi funzionale per capire come modellare un segnale, come modellare un sistema e come modellare le interazioni e le operazioni tra segnali (trasformazioni, convoluzioni, ecc.).

Spero che sia d'aiuto.

Per iniziare:

Numeri complessi

La risposta in frequenza di un filtro è più semplice da comprendere a valori complessi, descrivendo sia la risposta in frequenza di magnitudo sia la risposta in frequenza di fase. Sarai in grado di comprendere i poli e gli zeri, che possono essere complessi. I numeri complessi ti consentono di avere frequenze negative, il che renderà la matematica più semplice.

Trigonometria

$\sin$$\cos$$e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$

Differenziazione

Per trovare a quale frequenza raggiunge un picco o un calo di un semplice filtro, puoi risolvere a quale frequenza la derivata della sua risposta in frequenza di grandezza è zero.

Integrazione

L'integrazione è necessaria per la trasformata di Fourier e la trasformata inversa di Fourier.

trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier consente di passare da una risposta impulsiva a una risposta in frequenza e viceversa. Inoltre, le cose che fai nel dominio del tempo hanno spesso una controparte semplice nel dominio della frequenza e viceversa.

@George Theodosiou: Invece di immergerti in tutti i tipi di argomenti matematici ad alta potenza (solo una parte dei quali ti sarà utile), ti suggerisco di iniziare leggendo un libro decente per i principianti di DSP. Come i libri popolari "Comprensione dell'elaborazione del segnale digitale" o "Guida dello scienziato e dell'ingegnere all'elaborazione del segnale digitale". Quei libri cucchiaio alimentano il lettore, lentamente e delicatamente, la matematica necessaria per iniziare a studiare DSP. Quindi, quando incontri qualche equazione in quei libri che ti confondono, puoi andare sul web e imparare la matematica di quella particolare equazione in modo più approfondito.

George, se il tuo desiderio di imparare il filtraggio digitale è sincero e mantieni il tuo entusiasmo, allora avrai successo. Per citare Susan B. Anthony, "Il fallimento è impossibile". In bocca al lupo.

Mille grazie a coloro che hanno risposto, commentato e visualizzato la mia domanda. La mia risposta è che devo partire dall'analisi funzionale come suggerisce l'onorevole Bone. Ricordo alle superiori che quando un polinomio di x è equiparato a y, produce la funzione di x con y. Ricordo anche il teorema fondamentale dell'algebra per coefficienti reali. Quindi posso iniziare da questa conoscenza.

Per la progettazione di filtri digitali, apprezzo le risposte sopra e vorrei aggiungere alcuni campi.

Innanzitutto, limitiamoci alla limatura lineare. La linearità, insieme all'invarianza del tempo, sono presupposti di base. Con essi, gli spazi vettoriali, la convoluzione (integrali e serie) e le trasformazioni di Fourier (parte dell'analisi funzionale, con complessa e trigonometria) diventano strumenti naturali. Insisto che questi strumenti sono conseguenze naturali della linearità / invarianza nel tempo, se lo ottieni, sarai delicatamente guidato verso gli strumenti di cui hai bisogno. L'ottimizzazione è abbastanza pervasiva nella progettazione del filtro.

Sul lato, puoi tenere a mente campi aggiuntivi. Potresti essere interessato a progettare filtri complementari, con velocità diverse, e la progettazione di filtri multirate può portare alla fattorizzazione a matrice, che è utile anche nella struttura dei filtri (reticolo, scala) e nella fattorizzazione spettrale. Se si passa all'implementazione del sistema reale (FPGA, microcontrollore), è possibile immergersi nell'aritmetica a punto fisso o intero. Ovviamente, la teoria del campionamento è un requisito del primo ordine, specialmente se si passa alla multidimensionalità (elaborazione delle immagini). Si può persino toccare la matematica superiore, con sistemi polinomiali e basi di Gröbner .

Mi piace molto, per un'introduzione matematica e chiara di base a molti argomenti, analisi e applicazioni di Fourier di Gasquet & Witomski : filtro, calcolo numerico, wavelet .

Consentitemi di aggiungere un problema meno menzionato: una grande domanda è spesso il numero di tocchi e la precisione (numero di bit per coefficiente) richiesta per soddisfare un determinato design del filtro. Due fonti:

• Ichige et al. Stima accurata della lunghezza minima del filtro per filtri digitali {FIR} ottimali , Transazioni IEEE su circuiti e sistemi II: elaborazione di segnali analogici e digitali, 2000
• Bellanger, Sulla complessità computazionale nei filtri digitali , 1981