filtri IIR complementari

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Vorrei un paio di filtri IIR complementari (passa-basso / passa-alto). Per complementare, intendo, quando viene sommata l'uscita dai due filtri, viene ripristinato il segnale originale. Pensavo di poter costruire tali coppie con i filtri Butterworth ma usando un po 'di matematica, ho scoperto che solo i filtri del 1 ° ordine erano complementari. Pensavo di averlo fatto prima, ma sto dimenticando come.

C'è qualcosa che non va nella mia matematica? C'è una soluzione facile di cui mi sto dimenticando?

Grazie!

lowpass-filter infinite-impulse-response highpass-filter

— Bjorn Roche
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Se descrivi la tua applicazione in modo più dettagliato, sarebbe utile. Non vedo alcun vantaggio reale per i filtri complementari in questo senso. Tuttavia, se sei disposto a filtrare nuovamente i segnali prima di aggiungerli e recuperare l'originale, è una storia molto diversa che coinvolge le wavelet. Quindi, se posso ottenere maggiori informazioni su ciò che stai cercando di fare, dovrei essere in grado di aiutarti.

— Phonon,

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La risposta di Juancho è in qualche modo giusta, tuttavia c'è un problema: il filtro gratuito di un passaggio passa basso NON è generalmente un filtro passa alto, almeno non nel senso che stai cercando. Ad esempio, il complimento di un passa basso Butterworth del 4 ° ordine non sembra affatto un filtro passa alto del 4 ° ordine. Ha solo metà della pendenza, raggiunge un guadagno massimo di ca. +6 dB al di sotto della frequenza di crossover e si avvicina lentamente al guadagno unitario al di sopra della frequenza di crossover.

Gli unici filtri passa alto e passa basso corrispondenti che sommano all'unità sono i filtri del primo ordine. Puoi tuttavia trovare filtri di ordine superiore corrispondenti che sommano al guadagno unitario in modo che la funzione di trasferimento globale della somma sia un filtro a tutto passaggio. Si tratta di filtri Butterworth di ordine strano e persino di filtri Linkwitz Riley.

— Hilmar
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Ah, interessante! La prima cosa che ho provato guardando questo è stato Butterworth di terzo ordine perché pensavo di ricordare che Butterworth di ordine strano aveva queste proprietà (e altre proprietà che desidero), ma non ha funzionato. Devo aver fatto un errore. Ci riproverò, grazie!

— Bjorn Roche,

I BW di ordine dispari sono sfasati di 90 gradi, quindi è possibile aggiungerli o sottrarli per una risposta globale piatta. Tuttavia, la somma e la differenza hanno un ritardo di gruppo significativamente diverso, quindi esiste una scelta "migliore" unica.

— Hilmar,

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La risposta in frequenza dei due filtri complementari è $H_2(e^{j\theta}) = 1 - H_1(e^{j\theta})$ o le risposte all'impulso $h_2[n] = \delta[n] - h_1[n]$ .

Per un filtro IIR, $H_1(z)$ può essere scritto come $\frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$ . Poi $H_2(z)$ dovrebbe essere qualcosa di simile $\frac{(a_0 - b_0) + (a_1 - b_1) z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$ .

Quindi i coefficienti non ricorsivi per $H_2$ sono ora $(a_0-b_0)$ , $(a_1 - b_1)$ , eccetera.

I coefficienti ricorsivi sono gli stessi per entrambi i filtri.

— Juancho
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Una grande risposta è quella che sembra ovvia in retrospettiva! Grazie!

— Bjorn Roche,