Come viene chiamata la relazione tra i PSD dell'input e dell'output del filtro?

Se un segnale stazionario ad ampio senso $X$ viene inviato a un filtro LTI con la funzione di trasferimento $H$ , la densità spettrale di potenza (PSD) dell'uscita $Y$ può essere espresso come:

R_{Y} (f) = {| H (f) |}^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = \left|H(f)\right|^2R_X(f)$

dove $R_X$ indica il PSD di $X$ .

Questa relazione ha un nome comune?

transfer-function terminology

— Gilles
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Risposte:

Non conosco il nome della relazione, ma $\vert H(f)\vert^2$ è chiamata la funzione di trasferimento di potenza del sistema LTI. Lo spettro di potenza in uscita è lo spettro di potenza in ingresso moltiplicato per la funzione di trasferimento di potenza , proprio come per i segnali deterministici, lo spettro di uscita è lo spettro di ingresso moltiplicato per la funzione di trasferimento $H(f)$ .

— Dilip Sarwate
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Per essere più pedante, H (f) è la funzione di risposta in frequenza . H (w) è la funzione di trasferimento.

— mtrw,

@mtrw Hai una citazione per eseguire il backup della tua pedanteria? Il testo classico di Bracewell chiama La trasformata di Fourier e le sue applicazioni

H (f)

$H(f)$ la funzione di trasferimento; altri testi chiamano

H (ω)

$H(\omega)$ o

H (j ω)

$H(j\omega)$ la funzione di trasferimento come fai tu; altri ancora chiamano

H (s)

$H(s)$ la funzione di trasferimento. Quindi, si prega di fornire una citazione che dice quella chiamata

H (f)

$H(f)$ la funzione di trasferimento è errata poiché questo nome è riservato

H (ω)

$H(\omega)$ .

— Dilip Sarwate,

Innanzitutto, devo scusarmi per uno stupido errore. Avrei dovuto dire che H (f) è il FRF e H (s) è la funzione di trasferimento. Purtroppo non ho più la mia copia di Segnali e sistemi di Oppenheim, Schafer & Young , che è dove ricordo di averlo appreso. Il mnemonico che mi è stato insegnato era che la trasformata di Fourier della risposta all'impulso (H (f) o H (jw)), poiché è valutata per i sinusoidi puri, dà la risposta alle frequenze. Le trasformazioni di Laplace e z (H (s) o H (z)) forniscono funzioni di trasferimento.

— mtrw,

La relazione che hai risulta dal teorema di Wiener-Khinchin (WK). Il teorema di WK riguarda principalmente l'autocorrelazione dell'ingresso e la sua densità spettrale di potenza (PSD) come coppia di trasformate di Fourier. Non l'ho sentito menzionato con un nome particolare diverso da dire esplicitamente "Dal teorema di WK, abbiamo blah ..." Dall'articolo citato:

Un corollario [del teorema di WK] è che la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione dell'uscita di un sistema LTI è uguale al prodotto della trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione dell'input del sistema moltiplicata per la grandezza quadrata del Fourier trasformazione della risposta all'impulso del sistema.

Mentre è stato scritto e provato per segnali (o funzioni) che sono integrabili quadrati e quindi hanno una trasformata di Fourier, è comunemente usato per studiare i processi casuali WSS (che non hanno una trasformata di Fourier) mettendo in relazione l'autocorrelazione tramite le aspettative piuttosto che integrali.

— Lorem Ipsum
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È una buona risposta, ma davvero non rispondi alla domanda? Ho l'impressione che la tua risposta sia il teorema di Wiener-Khincin, ma non è proprio vero credo. Spero di non apparire scontroso, ma la domanda è davvero precisa, quindi la risposta dovrebbe / potrebbe essere precisa.

— niaren,

Non sono d'accordo con Wikipedia sul fatto che il risultato in questione sia un corollario del teorema di WK. Il teorema di WK afferma che il PSD di un processo WSS è la trasformata di Fourier della sua funzione di autocorrelazione. È un risultato completamente diverso che quando un processo WSS passa attraverso un sistema lineare, la funzione di autocorrelazione dell'output è correlata all'autocorrelazione dell'input come

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$ . Questo risultato richiede analisi probabilistiche e assunzione di aspettative, ecc. Che sono correlate ai calcoli utilizzati per dimostrare il teorema di WK, ma il risultato non è un corollario del teorema di WK

— Dilip Sarwate,

Continuando il mio commento precedente, una volta che l'analisi probabilistica lo ha stabilito

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$ , possiamo applicare il teorema di WK e dire

A_{X} (t) \leftrightarrow R_{X} (f)

$A_X(t) \leftrightarrow R_X(f)$ e

A_{Y} (t) \leftrightarrow R_{Y} (f)

$A_Y(t) \leftrightarrow R_Y(f)$ via WK, mentre

h (t) \leftrightarrow H (f)

$h(t) \leftrightarrow H(f)$ e

\tilde{h} (t) \leftrightarrow H^{*} (f)

$\tilde{h}(t) \leftrightarrow H^*(f)$ e così

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = |H(f)|^2 R_X(f)$ tramite il teorema di convoluzione che è ciò di cui l'OP stava chiedendo. Ma tutto ciò è inapplicabile a meno che non lo mostri per la prima volta

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$ e questo non è un corollario del teorema di WK.

— Dilip Sarwate,

@Dilip Non sono in disaccordo, e non ho mai fatto valere che il risultato per WSS è un corollario di WK. Il testo che ho citato parla solo della relazione tra l'autocorrelazione e le trasformate di Fourier per input e output di un sistema LTI. Essa non parla di WSS. Ho chiarito proprio sotto che, mentre WK è stato provato per segnali integrabili quadrati, è usato per studiare WSS usando un approccio probabilistico e correlando l'autocorrelazione attraverso le aspettative. È praticamente quello che hai detto qui, ma non sono entrato nei dettagli, perché l'OP non l'ha mai chiesto.

— Lorem Ipsum,

@yoda Nota che ho detto che non ero d'accordo con ciò che Wikipedia sostiene, non con quello che hai detto. L'articolo di Wikipedia afferma che il teorema di WK vale per i processi WSS e quindi afferma che il risultato

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$ è un corollario del teorema di WK che non è corretto. Il risultato

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$ può essere dimostrato per segnali deterministici (integrabili al quadrato) in modo molto semplice e quindi

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$ segue attraverso il teorema di convoluzione. Per i processi WSS, stabilire

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$ richiede un'analisi probabilistica (come dici correttamente). Più sotto

— Dilip Sarwate,