È

È $x(t) = \cos t + \sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ un segnale periodico?

La risposta fornita dal libro è diversa dalla mia risposta. Il libro dice che non è un segnale periodico. Ragazzi, potete dirmi perché non è un segnale periodico?

La mia risposta:

$\cos(t)$ è periodico come $2\pi f_1 = 1 \Rightarrow f_1=\frac{1}{2\pi} \Rightarrow T_1=2\pi$

$\sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ è anche periodico come $2\pi f_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow f_2=\frac{1}{4\pi} \Rightarrow T_2=4\pi$

Perciò $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ è un numero razionale

Pertanto il dato $x(t)$ è un segnale periodico.

periodic

— Pranav Peethambaran
fonte

Quale libro dice così?

— Matt L.

Pranav: benvenuto in DSP.SE! Hai fatto una domanda a casa / studio personale esattamente nel modo giusto: hai posto la domanda, hai chiarito che si tratta di una domanda da manuale a cui stai cercando di rispondere e hai mostrato quello che pensi sia (o mostrato quanto capisci). Molto bene!

— Peter K.

Gli errori tipografici, per non parlare dei veri e propri errori, non sono sconosciuti nel Manuale delle soluzioni o nelle "risposte a problemi con numeri dispari" che sono inclusi nei libri di testo perché mentre un professore potrebbe aver scritto il testo e averlo attentamente riletto, il Manuale delle soluzioni e le risposte agli esercizi sono elaborate da assistenti studenteschi laureati e non controllati con cura dal professore. Questo non vuol dire che il professore sia assolto dalla responsabilità degli errori, ma solo una spiegazione del perché la "risposta del libro" non deve essere considerata come la verità del Vangelo in tutti i casi.

— Dilip Sarwate,

Grazie amici per aver chiarito il mio dubbio. Siete i migliori! Grazie mille :) Era dal libro dell'istituto di coaching, uno dei problemi di pratica. :)

— Pranav Peethambaran,

SE.DSP ti augura un felice anno nuovo 2017, con un gentile segnale che ricorda che la tua domanda o le sue risposte potrebbero richiedere un'azione (aggiornamento, voti, accettazione, ecc.)

— Laurent Duval

Risposte:

Come per ogni $t_0\in\mathbb{R}$ e $k\in\mathbb{Z}$

\begin{array}{rcl} x (t_{0} + 4 k π) & = \cos (t_{0} + 4 k π) + \sin (t_{0} / 2 + 2 k π) \\ = \cos (t_{0}) + \sin (t_{0} / 2) \\ = x (t_{0}) \end{array}

$\begin{eqnarray} &x(t_0+4k\pi) &=\cos(t_0+4k\pi)+\sin(t_0/2+2k\pi)\\ & &=\cos(t_0)+\sin(t_0/2)\\ & &=x(t_0) \end{eqnarray}$ la tua risposta è corretta:

x (t)

$x(t)$ è periodico.

— Deve
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Per aggiungere una risposta contrarian: se il tuo indice temporale, $t$ , è un numero intero, quindi il tuo segnale non è periodico.

La definizione di periodico è: $x[t]$ , $t\in\mathbb{Z}$ è periodico con punto $P\in \mathbb{Z}$ se e solo se

x [t] = x [t + P]

$x[t] = x[t+P]$

Quindi abbiamo bisogno

\cos (t) = \cos (t + P)

$\cos(t) = \cos(t+P)$ quindi per periodicità abbiamo bisogno

P = 2 π k

$P = 2\pi k$ con

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$ .

Da $\pi$ è irrazionale, non può essere così.

Quindi il primo componente del segnale non può essere periodico, quindi l'intero segnale non può essere periodico.

— Peter K.
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Non è necessario che P sia intero, quindi cos (t) = cos (t + P). Per ogni t cos (t) = cos (t + 2π), perché cos (t + 2π) = sin (t) * sin (2π) + cos (t) * cos (2π) = sin (t) * 0 + cos (t) * 1 = cos (t)

— Stoleg l'

Bello! ma se il libro segue la convenzione che

x (t)

$x(t)$ indica un segnale a tempo continuo e

x [t]

$x[t]$ indica un segnale a tempo discreto con

t

$t$ assumendo solo valori interi, quindi non si applica ....

— Dilip Sarwate,

@Stoleg: No,

P

$P$ deve essere un numero intero in questo caso. Perché l'indice di

x

$x$ deve essere un numero intero per segnali temporali discreti. Altrimenti

x [t + P]

$x[t+P]$ non è definito.

— Peter K.

@LaurentDuval: grazie! Sì, il segnale del tempo continuo è decisamente periodico

x (t) = x (t + P)

$x(t) = x(t+P)$ , per

t \in R

$t\in\mathbb{R}$ e

\forall P \in R

$\forall P \in \mathbb{R}$ . E, come dici tu, la versione campionata (versione temporale discreta) non è periodica, ma la versione ricostruita è (purché abbiamo campionato abbastanza rapidamente ... sebbene forse una versione con alias + ricostruita possa anche essere periodica ... hmmm. ).

— Peter K.

F_{u n}

$\mathbf{F}_{un}$ !!!

— Peter K.

Le formule a doppio angolo per le identità trigonometriche lo dicono $\cos \left(\frac{2t}{t}\right) = 1 - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ .

Quindi hai $x(t) =1 +\sin(\frac{t}{2}) - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ . Quindi, il tuo segnale è composto da funzioni (come aggiunte e moltiplicazioni) che tutti ammettono $4\pi$ come punto (sì, la funzione costante $x\to 1$ è $4\pi$ anche periodica).

Quindi la tua funzione sembra molto periodica.

— Laurent Duval
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