Come posso calcolare numericamente una funzione dal suo gradiente rumoroso?

Ho il modello $\ s(x,y)=x^2+y^2, 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1$.

Invece di osservare direttamente il modello osservo le derivate del modello + un po 'di rumore (e):

$\ p(x,y)=s_x+e, q(x,y)=s_y+e$

Dalle misurazioni di p (x, y e q (x, y) voglio stimare s (x). Di 'che so che s (0,0) = 0.

Secondo il teorema del gradiente: $\ s(x,y) = \int_{(0,0)}^{(x,y)} [s_x,s_y]d\vec{r}$

indipendentemente da quale percorso integriamo.

Come piccolo esperimento (in Matlab) ho aggiunto un normale rumore distribuito, N (0,1), a p = 2x e q = 2y. Quindi ho integrato prima lungo x seguito da lungo y: SXY. Successivamente ho integrato prima lungo y seguito da x: SYX.

I risultati mostrano che il teorema del gradiente non regge in questo caso (a causa del rumore):

Gli errori quadrati medi radice relativi al modello sono:

ErmsXY =
    0.1125
ErmsYX =
    0.0920

Come posso trovare una stima migliore (meno errori RMS e più fluidi) di s da p e q?

MODIFICARE:

Da quello che ho letto; l'utilizzo dell'integrale della curva viene definito integrazione locale. Esistono anche metodi di integrazione globale in cui si cerca invece di scegliere una S (x, y) che minimizzi:

$\ \int_0^1\int_0^1 [|S_x - P|^2 + |S_y - Q|^2] dxdy$

I metodi di integrazione globale dovrebbero dare risultati migliori quando il gradiente è rumoroso, ma come faccio in pratica?

EDIT 2:

Un approccio che ho usato è questo:

per prima cosa introduciamo operatori di derivazione lineare: $\ s_x = D_x*s,s_y = D_y*s$.

Il risultato è il seguente sistema di equazioni lineari:

$\ D_x*s=p, D_y*s=q$

Quindi trova una soluzione dell'errore del minimo quadrato a queste equazioni. Una soluzione LSE a queste equazioni dovrebbe essere equivalente a minimizzare l'integrale dall'alto. Come può essere mostrato?

I risultati sono buoni:

L'errore RMS è circa 1/5 di quello di SXY e SYX e anche la soluzione è più fluida.

Tuttavia ci sono alcuni svantaggi di questo approccio:

1. è difficile da attuare; deve usare differenze centrali e "appiattire" la matrice 2D nel vettore ecc.

2. Le matrici di derivazione sono molto grandi e sparse, quindi possono consumare molta RAM.

Un altro approccio che sembra potenzialmente più semplice da codificare, che richiede meno RAM e più veloce è utilizzare FFT. Nello spazio di Fourier questi punti diventano un'equazione algebrica. Questo è noto come algoritmo Frankot-Chellappa, ma sfortunatamente non riesco a farlo funzionare sui miei dati di esempio.

Puoi filtrare il gradiente stesso o il risultato, $s$. Dovresti conoscere abbastanza bene le caratteristiche dei gradienti reali per sapere qual è la larghezza di banda della frequenza. A quel punto è possibile progettare un filtro passa-basso che preservi il segnale ma elimini il rumore ad alta frequenza.