Campionamento di una funzione continua: il delta di Kronecker o Dirac?

Ho letto alcuni articoli per la segnalazione di segnali e sono molto confuso sull'argomento nel titolo della mia domanda. Si consideri una funzione continua del tempo , , che campione talvolta disomogenei , dove . Per me ha senso che la funzione campionata sia: $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$ dove èildeltadi Kronecker(uguale a quando , zero altrove). Tuttavia,in questo articolo, l'autore definisce il segnale campionato come:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

dove

è la funzione delta di Dirac e non capisco perché l'

appare qui (l'autore afferma che la funzione di campionamento è in realtà una somma ponderata delle funzioni delta

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$

1 / N

$1/N$

e qui sceglie

. Non ho davvero capito perché). Quest'ultima affermazione non ha molto senso per me: il segnale campionato avrebbe un'ampiezza infinita a

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

$f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Néstor
fonte

La modellazione del processo di campionamento tramite la moltiplicazione di un segnale a tempo continuo per un treno di impulsi di Dirac è l'interpretazione più comune nella mia esperienza. Se approfondisci abbastanza, troverai qualche disaccordo sulla precisione matematica di questo approccio *, ma non me ne preoccuperei; è solo un modello conveniente per il processo. Non ci sono generatori di impulsi all'interno dell'ADC del tuo cellulare che generano periodici fulmini che moltiplicano i loro ingressi analogici.

Come hai notato, non puoi calcolare la trasformata di Fourier a tempo continuo della funzione delta di Kronecker, poiché il suo dominio non è continuo (è limitato agli interi). La funzione delta di Dirac, al contrario, ha una semplice trasformata di Fourier e l'effetto della moltiplicazione di un segnale per un treno di impulsi di Dirac è facile da mostrare grazie alla sua proprietà setacciatrice.

*: Ad esempio, se vuoi essere matematicamente preciso, diresti che il delta di Dirac non è affatto una funzione, ma una distribuzione . Ma a livello di ingegneria, questi problemi sono in realtà solo una semantica.

Modifica: affronterò il commento qui sotto. Hai dato il tuo modello mentale del processo di campionamento come:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

che non è corretto. Invece, il modello per il segnale campionato è:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

$t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

$f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

che è esattamente la definizione della trasformata di Fourier a tempo discreto .

— Jason R
fonte

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$