Qual è il significato di uno zero / polo complesso?

Ho studiato l'elaborazione e il controllo del segnale da un po 'di tempo, e uso trasformazioni di Laplace e Fourier quasi ogni giorno. Anche altri strumenti come i grafici di Nyquist o Bode.

Tuttavia, non ci avevo mai pensato fino ad oggi: qual è il significato fisico di un numero complesso quando si tratta di frequenze?

Può sembrare sciocco, ma mi è stata posta questa domanda e non sapevo a cosa rispondere. Perché ne parliamo$j\omega$ e non solo $\omega$in, ad esempio, trasformazioni di Fourier e trame di Bode o Nyquist? Qual è il senso fisico della parte reale e immaginaria di uno zero o di un polo nel dominio di Laplace?

Di solito ne parliamo $j\omega$ quando siamo interessati anche alla trasformazione di Laplace di un segnale / sistema, ma vogliamo solo parlare della risposta in frequenza.

Il significato fisico della parte immaginaria è che si riferisce a segnali puramente sinusoidali e sono "ampiezza" costante. La parte reale si riferisce a segnali per i quali l '"ampiezza" decade o cresce esponenzialmente.

Penso di aver iniziato a capire la relazione tra zeri / poli e la risposta in frequenza . L'idea è di regolare la frequenza$w$ delle funzioni di base del tuo dominio di frequenza $e^{jwn}$ e la velocità del loro decadimento per abbinare il $z_{zero/pole}$. Voglio dire che lo zero / polo può essere un numero complesso con ampiezza al di fuori del singolo cerchio e regolando la frequenza con cui sposti il ​​tuo numero complesso$e^{-jw}$ vettore lungo il singolo cerchio nel piano complesso ma non esiste una frequenza che possa renderlo uguale $z=2$ o $z=j/3$, per esempio. Quindi, le funzioni di base devono assomigliare$e^{(k-jw)n}$per raggiungere qualsiasi polo / zero nel piano complesso. È interessante perché ho sentito quella base di Fourier$e^{-jw}$ può rappresentare qualsiasi singolare ma sembra insufficiente e abbiamo bisogno della base di Laplace $e^{(k-jw)n}$ nella progettazione del filtro.

Ora, puramente reale $z$significa che l '"esponente complesso" che lo corrisponde non ha alcun componente immaginario. Deve decadere senza oscillazioni, come$e^{kn}$, per rispondere allo zero / polo. Prendi la pole a$z=1$, per esempio. Hai un sistema$y_n - y_{n-1} = x_n + x_{n-1} + \ldots$ così che $Y(z) = X(z)/(1-z).$ Il palo $z = e^{-jw} =1$ corrisponde alla frequenza $w=0$. Anzi, con$x_n=1$, noi abbiamo $y_n = y_{n-1} + 1$che cresce senza limiti. Rendendolo oscillante, cioè impostazione$w \neq 1$, interromperà la crescita poiché si accumulerà per la prima volta, quando $x_n=2cos(wn) = e^{jwn} +e^{-jwn}> 0$e quindi ridurre l'accumulo a zero, durante la seconda metà del periodo sinusoidale. Ciò suggerisce che i poli immaginari ti daranno infinite risposte per le funzioni oscillanti (componenti del segnale di input).

Quando hai un sistema $y_n=ay_{n-1}$, è possibile ottenere facilmente la funzione polare applicando un impulso delta all'ingresso. La risposta osservata è il polo. Voglio dire che la risposta è un esponente in decomposizione$y_n = e^{k-jw}n=a^n$. Ogni orologio è$a = e^{k-jw}=e^ke^{-jw}$volte il valore precedente. Nota che (il coefficiente di retroazione del polo aka e, quindi, la funzione di risposta) è complesso e generale, il che significa che la tua risposta oscillerà. Quando moltiplichi un numero complesso per un altro, il tuo numero viene ridimensionato in lunghezza e spostato in fase. La parte complessa è responsabile dello sfasamento (le oscillazioni).

Ricordo dalla teoria del sistema che le oscillazioni in realtà rappresentano il sistema del secondo ordine. Probabilmente, questo risponderà alla mia domanda sulla cella di commutazione . L'idea è che quando hai il primo livello controlla l'incremento dell'altro e l'altro controlla l'incremento del primo, come l'induttore elettrico e il condensatore nell'oscillatore armonico,

$$\begin{cases} \dot{u} & = &i\\ \dot{i} & = &-u\\ \end{cases}$$

è un sistema del secondo ordine perché può essere espanso in $\ddot{u} = \dot{i} = -u$, la famosa equazione dell'osciallatore primaverile: la posizione controlla negativamente l'accelerazione. Quindi, due variabili di stato puramente reali (ovvero accumulatori) oscillano. Vedo che anche il piano complesso è costituito da due assi, le stesse due variabili. Quando tutta l'energia è concentrata nel primo accumulatore, hai 1 + 0j stato, quando a metà strada indietro, hai l'opposto, stato = 0 + 1j, quindi il secondo accumulatore ha spinto indietro energia, stato3 = -1 + 0j, che è inclinato al primo in state4 = 0-j ed elabora ripetizioni. Questi sono 4 quarti di viaggio lungo un cerchio unitario nel piano complesso e imitano le oscillazioni armoniche. Quindi, probabilmente, sarai in grado di dividere$1/(1-(a+jb)z)$ in $1/(1-r_0z)\cdot 1/(1-r_1z)$ con reale $r_0$ e $r_1$.

Aspetta, non puoi rendere quel singolo scomposto $z$ in $z^2$e ricordo che i poli complessi arrivano sempre in coppie coniugate. Cioè, se hai pole (a + jb), hai anche (a-jb). A quanto ho capito, questo aiuta a rendere l'output puramente reale, dato l'input reale poiché il feedback (a + jb) significa che il sistema si evolve come$(a+jb)^n = e^{(k+jw)n}$, la fase ruota in una direzione mentre

$$(a-jb)^n = e^{(k-jw)n}$$ ruota la fase nell'altra direzione e la loro somma è $e^{kn}(e^{jw}+e^{-jw})^n$è puramente reale. Il$x_{n+1}=-x_{n-1}$ il sistema sopra ha una soluzione $X(z)=(x_0+zx_1)/(1+z^2)=(x_0+zx_1)/[(1+jz)(1-jz)]$. Probabilmente lo capisci già. Ho appena ampliato la tua domanda.

La funzione di trasferimento $1/(1+z^2)$ sta per la sequenza $\{1,0,-1,0,1,0,\ldots\}$. Deve esserci una "variabile nascosta" (sì, è interessante se la complessità dei poli è identica alla necessità di numeri immaginari di cui abbiamo bisogno in QM. La posizione e il momento sono coniugati complessi, una sorta di 90 ° ruotati l'uno dall'altro e conoscendo l'una puoi calcolare l'altra) variabile nascosta per tenere a mente se stiamo passando allo stato 1 o -1 dopo 0. Il coniugato complesso è una sorta di accumulatore ortogonale complementare ma ancora reale, come la corrente dell'induttore per la tensione del condensatore, che tiene traccia di ciò. Mi unisco alla domanda per chiunque di chiarire perché abbiamo bisogno di due di questi complementi per avere un'oscillazione di tensione puramente reale e cosa significa singola oscillazione complessa.

Lo vedo in questo modo (per l'oscillatore LC sopra)

$$\begin{bmatrix}\text{state} &\text{description}& \text{capacitor [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0&\text{all energy is in the capacitor} & 1 + 0j & 0 + j \\ 1&\text{all energy is in the inductor} & 0 + j & 1 + 0 \\ 2&\text{all energy is negaitvely charged cap} & -1 + 0 & 0 + -j \\ 3&\text{all energy is negative current} & 0 + -j & -1 + 0 \\ \end{bmatrix}$$

Cioè, ciò che vedi la tensione immaginaria è una corrente reale in un quadro di riferimento parallelo, cioè dal punto di vista dell'induttore. Perché, come ti ho detto, lo stato LTI si evolve moltiplicando lo stato corrente con autovalore, dovremmo oscillare tra 1 e -1 sul cerchio unitario, il che implica j stati intermedi. Ma ciò che vedi come energia conservata nello spazio immaginario, sembra essere solo un altro accumulatore. Il coniugato accmulaor è solo un altro accumulatore. Per qualche ragione sembra essere di tipo coniugato, come ho cercato di spiegare nella cella di commutazione .

Mi sembra di deviare di nuovo. Poiché l'oscillazione armonica è una sovrapposizione di due evoluzioni, formata da due poli complessi$j$ e $-j$, dovremmo avere due colonne per ogni variabile coniugata. Ecco la parte mancante

$$\begin{bmatrix}\text{state} & \text{capacitor -j [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0& 1 & 0 j \\ 1& 0 - j & -1 \\ 2& -1 + 0 & -j \\ 3& 0 + j & +1 \\ \end{bmatrix}$$

La tensione nel condensatore è un valore reale, che è una media di due colonne di condensatori, $(j^n + (-j)^n)/2 = \cos (n\pi/2)$. I processi a opposti rotazioni annullano i componenti immaginari. In effetti, la corrente scorre in una direzione ma$\ddot(x)=-x$ammette qualsiasi direzione e la allontana tranne la media. Quindi, il solo polo rappresenta un processo concreto, il flusso di corrente in una direzione o nell'altra. E, se chiedi qual è il polo complesso, la risposta è il fattore in base al quale il vettore [corrente, tensione] viene ridimensionato ogni orologio se siamo nel dominio discreto (o [di / dt, dv / dt] se noi sono nel dominio continuo) dove il fattore reale rappresenta la loro ampiezza, parte reale$cos w$ del fattore complesso $e^{jw}$ sta per evoluzione di tensione e parte immaginaria $sin w$rappresenta l'evoluzione attuale. La corrente è immaginaria perché guardi dal punto di vista della tensione,$\ddot{v}=-v$. Al contrario, la tensione sarebbe immaginaria e attuale reale dal quadro di riferimento corrente,$\ddot{i}=-i$. Speriamo che sia corretto e chiunque possa spiegarlo meglio.

Le trasformazioni di Laplace possono essere utilizzate per prevedere il comportamento di un circuito. La trasformazione di Laplace assume una funzione nel dominio del tempo$f(t)$e lo trasforma in funzione $F(s)$ nel $s$-dominio. È possibile visualizzare le trasformazioni di Laplace$F(s)$ come rapporti di polinomi nel $s$-dominio. Se trovi le radici (poli) reali e complesse di questi polinomi, puoi avere un'idea generale di quale forma d'onda$f(t)$ sembrerà.

Ad esempio, come mostrato in questa tabella, se le radici sono reali, la forma d'onda è esponenziale. Se sono immaginari, allora è una combinazione di seno e coseno. E se sono complessi, allora è una sinusoide smorzante.

Tutto ciò deriva dalla formula di Eulero e dalla definizione di serie di Fourier che è un modo per rappresentare una funzione (simile ad un'onda) come la somma di semplici onde sinusoidali.

Una risposta è molto semplice: l'informazione.

Un segnale AC semplicemente non può essere quantificato con un singolo numero. Somma due segnali da 100Hz 1V e potresti ottenere qualcosa tra 0 e 2 a seconda della fase. Numeri complessi risolvono questo problema "portando con sé" due informazioni in ogni momento.

I poli e gli zeri sono simili: la loro frequenza non ti dice tutto. Due filtri RC creano due poli. Un filtro LC crea due poli. Ma non sono uguali. I numeri complessi sono in grado di trasportare le informazioni che descrivono la differenza.

Punto teorico di te. Prova a prendere una radice quadrata di frequenze negative e ti porterà in un posto strano.

Circa 300 anni fa era necessario introdurre una variabile chiamata $j$

Tuttavia, trasformata di Laplace, trasforma il segnale nel dominio del tempo in $s$-dominio dove

$$s=\sigma+j\omega$$

dove come trasformata di Fourier, nel dominio della frequenza $j\omega$