Perché parte reale di FFT converte l'immagine in rotazione + originale?

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Ho letto questa immagine:

prese la sua FFT (2D) e poi la FFT inversa per riprendere esattamente l'immagine. Il codice viene fornito come riferimento:

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

Ma quando cambio il Fourier e prendo solo la parte reale,

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

Ottengo un'immagine come questa ( nota che il cambiamento di dimensione è irrilevante e solo a causa del suo salvataggio dal gestore di figure Matlab ):

Qualcuno può spiegarmi la teoria (matematica) dietro di essa? Grazie

image-processing fft fourier-transform

— Scienziato fallito
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Supponiamo che la tua immagine sia data da . Quindi la sua trasformata di Fourier è data da $I(x,y)$

I^{f} (ω_{x}, ω_{y}) = \int_{x} \int_{y} I (x, y) e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y} d x d y

$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$

Ora prendi la parte reale ed esegui l'inverso:

\begin{aligned} I_{m} (α, β) & = \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {I^{f} (ω_{x}, ω_{y})} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} \\ = \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {\int_{x} \int_{y} I (x, y) e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y} d x d y} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} \\ = \int_{x} \int_{y} I (x, y) \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y}} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$

\cos (ω_{x} x) \cos (ω_{y} y) + \sin (ω_{x} x) \sin (ω_{y} y)

$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$

\frac{1}{2} [δ (x - α) δ (y - β) + δ (x + α) δ (y + β)]

$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$

$I_m$

I_{m} (x, y) = \frac{1}{2} [I (x, y) + I (- x, - y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$

$x,y>0$ $N$

I_{m} (x, y) = \frac{1}{2} [I (x, y) + I (N - x, M - y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$

N, M

$N,M$

— THP
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Bella risposta! +1

— Peter K.

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I think you can see now why got that result.Sì. Tuttavia, poiché questa domanda ha colpito l'elenco HNQ, forse potresti prendere in considerazione l'aggiunta del passaggio finale per coloro che arrivano da siti inclini meno matematici.

— Albero

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$z$ $(x,y)$ $z^*$ $(-x,-y)$ sull'origine. Si noti che l'origine qui sarebbe il centro dello spazio di Fourier. Questo può essere riformulato, ovviamente, se il componente DC non è al centro dell'implementazione di FFT. E questo è ciò che vedi nella tua immagine: una versione con riflesso puntuale sovrappone la vera immagine, perché hai costretto uno spazio a essere valutato veramente.

Questa proprietà viene effettivamente utilizzata per accelerare l'imaging a risonanza magnetica (MRI) in alcuni casi: la MRI acquisisce i dati direttamente nello spazio di Fourier. Poiché un'immagine MR ideale può essere descritta solo da valori reali (tutti i vettori di magnetizzazione eccitati hanno fase 0), è necessario acquisire solo metà dello spazio dati, risparmiando così metà del tempo di imaging. Ovviamente, le immagini RM non sono completamente valutate a causa dei limiti della realtà ... ma con alcuni trucchi puoi ancora usare questa tecnica in modo vantaggioso.

— M529
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Mi è piaciuto il modo semplice di affermare la stessa risposta fornita da ThP. E grazie per informazioni sulla risonanza magnetica. Non lo sapevo.

— Scienziato fallito