Perché funzionano i filtri digitali?

Quindi ho appena iniziato a leggere sui filtri FIR e IIR e sono rimasto sorpreso da quanto "semplice" la teoria sembra, finora.

• Ma ciò che mi confonde è, perché il filtraggio funziona creando una somma ponderata dei campioni precedenti?

• Quale intuizione fa pensare che ciò possa produrre gli effetti di filtro desiderati?

• Mi sembra un po 'poco intuitivo anche se chiunque può verificare che la somma dei segnali ritardati insieme produca un filtro a pettine. Ma filtro desiderabile? Perché?

Considera un segnale di input a tempo discreto del modulo:

dove la frequenza radiante è impostata tra 0 e radianti per campione.$\omega_0$$\pi$

Consideriamo ora due tipi più semplici di filtri LTI FIR a tempo discreto (digitali) che sono definiti attraverso le operazioni aritmetiche fondamentali di addizione e sottrazione dei loro campioni di input e quindi producendo gli output e secondo: e $y_1[n]$$y_2[n]$

Consente di effettuare un'analisi qualitativa di questi filtri impostando la frequenza del loro segnale di ingresso su valori bassi (vicino a ) e alti (vicino a ), quindi osservando le corrispondenti uscite e rispettivamente;$\omega_0$$0$$\pi$$y_1[n]$$y_2[n]$

Innanzitutto, supponi che sia impostato su basse frequenze. Quindi i campioni di input consecutivi e avranno valori molto simili , poiché un'onda sinusoidale a bassa frequenza non cambierà molto da un campione all'altro. In questo caso, la loro somma si sommerà , mentre la loro differenza verrà annullata . Pertanto sarà approssimativamente uguale al valore dell'ingresso , mentre l'uscita sarà prossima allo zero a causa dell'annullamento. La prima parte dell'analisi qualitativa conclude che il primo filtro,$\omega_0$$x[n]$$x[n-1]$$y_1[n]$$x[n]$$y_2[n]$$y_1[n]$, passa i segnali a bassa frequenza mentre il secondo filtro, li attenua.$y_2[n]$

Supponiamo per la seconda parte dell'analisi che sia impostato su alte frequenze; quindi i valori dei campioni di input e avranno polarità opposte , poiché il coseno cambierà rapidamente da campione a campione. In questo caso, la loro somma verrà annullata , mentre la loro differenza si sommerà . Pertanto sarà circa zero, mentre l'uscita sarà simile al suo input . La seconda parte dell'analisi conclude che il primo filtro,$\omega_0$$x[n]$$x[n-1]$$y_1[n]$$y_2[n]$$x[n]$$y_1[n]$, arresta i segnali ad alta frequenza mentre il secondo filtro, , li passa.$y_2[n]$

La combinazione di questi due analisi qualitative concludiamo che il primo filtro è un passa-basso del filtro, che passa basse frequenze ed attenua le alte frequenze, mentre il secondo filtro è un passa-alto filtro, che attenua le basse frequenze e passa alte frequenze.$y_1[n] = 0.5 (x[n]+x[n-1])$$y_2[n] = 0.5(x[n]-x[n-1])$

In questa impostazione, vengono realizzati filtri più complessi utilizzando più campioni a partire da ritardi più lontani che vengono ponderati di conseguenza. Le frequenze di taglio della banda passante e della banda di arresto, la larghezza di banda di transizione e le increspature sono tutte determinate da quei pesi applicati nei campioni sommatori (o differenziali) e dal numero di campioni (lunghezza del filtro) utilizzati nelle somme (o differenze).

Tali pesi vengono quindi chiamati come coefficienti di filtro (o sua risposta all'impulso per il filtro FIR) che caratterizzano il filtro.$h[n]$

Probabilmente hai già usato molto il filtro. Una media mobile è un filtro!

Pensa al filtraggio generale come a una media mobile elaborata dove invece di fare la media di ogni componente in una finestra allo stesso modo, pesi i componenti.

Se volessi semplicemente smussare il segnale, potresti ponderare ogni valore usato nella media da una curva gaussiana (campana) per esempio. Questo è un filtro passa basso.

Se si desidera isolare una particolare frequenza, è possibile ponderare ogni valore alternativamente positivo e negativo alla stessa frequenza.

Penso che tu stia cercando intuizioni sul perché ottieni un certo comportamento nel dominio della frequenza quando calcoli una somma ponderata di campioni di input. Come sapete, il segnale di uscita di un filtro FIR lunghezza causale è dato da$N$

dove sono i coefficienti di filtro (maschi) o, equivalentemente, la risposta all'impulso di lunghezza finita del filtro, e è il segnale di ingresso.$h[n]$$x[n]$

Ora lascia che , cioè un esponenziale complesso in frequenza . Il segnale di uscita corrispondente è$x[n]=e^{j\omega_0n}$$\omega_0$

dove

è la risposta in frequenza del filtro, valutata in . È uguale alla trasformata di Fourier a tempo discreto della risposta all'impulso .$\omega=\omega_0$$h[n]$

Eq. mostra come appare un componente di frequenza di ingresso in frequenza in uscita. La sua ampiezza è ridimensionata dae la sua fase viene spostata di . Ad esempio, puoi scegliere i coefficienti tale che per una certa frequenza . In questo caso, il componente di frequenza corrispondente nel segnale di ingresso viene completamente soppresso dal filtro. Questo è ciò che fanno i filtri notch.$(2)$$\omega_0$$|H(\omega_0)|$$\arg\{H(\omega_0)\}$$h[n]$$H(\omega_0)=0$$\omega_0$

Eq. spiega il comportamento nel dominio della frequenza di un filtro a tempo discreto. È possibile approssimare qualsiasi risposta in frequenza desiderata di scegliendo i coefficienti in modo appropriato. Questo è l'argomento della teoria dell'approssimazione o, più specificamente, della progettazione (dominio di frequenza) dei filtri digitali. Dai un'occhiata a questa risposta per una breve panoramica del design del filtro digitale e per alcuni riferimenti.$(2)$$D(\omega)$$H(\omega)$$h[n]$

Alle risposte utili che sono state aggiunte finora, vorrei aggiungere, sul punto dell'intuizione, che il filtro funziona perché si basa sulla teoria delle onde e in particolare sull'interazione delle onde. Questo fornisce una vasta gamma di esempi intuitivi.

Ma anche che ci sono fondamentalmente due punti di vista. Uno è il punto di vista astratto, preso modellando la realtà e quindi lavorando con i modelli e l'altro è la realtà "fisica". Cioè, ciò che sta realmente accadendo in natura.

Ad esempio, in realtà, il suono proveniente da una fonte rimbalza su un muro e ritorna alle orecchie degli ascoltatori. Questa è la realtà. La realtà "modellistica" è dire che il muro è solo un dettaglio. Ciò che sta accadendo è che esiste un'altra fonte, in una posizione ben definita DIETRO il muro che riproduce il suono della fonte. Questo semplice modello consente quindi di studiare i riflessi come aggiunta di onde ... Ma non c'è nulla sull'altro lato del muro.

$y=a \times cos(\omega t + \phi)$ è un oscillatore. Se uscisse da un generatore di funzioni, sopra un banco, potremmo dire che corrisponde al jack dell'uscita, è il quadrante di ampiezza, è il quadrante di frequenza e è il quadrante di fase. Quindi, ognuno dei nostri simboli astratti ha un significato fisico. Possiamo suonare con il quadrante di frequenza e ci diventa immediatamente accessibile, diventa parte della nostra esperienza.$y$$a$$\omega$$\phi$

Possiamo giocare con quella che Matt. L sta parlando nella sua risposta più in alto? Qual è la corrispondenza fisica di ? Cosa sta realmente accadendo nella realtà? Che cos'è ?$h$$h$$h$

$h$ è molte cose meravigliose. Una stanza è un . Un lungo passaggio in galleria sotto un ponte è un . L'atmosfera è un . Un piano è una (generalmente, i risonatori degli strumenti). L'oceano è un . Un pezzo di filo è un . Un amplificatore per chitarra è un .$h$$h$$h$$h$$h$$h$$h$

Immagina te stesso in quello che chiamiamo spazio libero . Lo spazio libero è spazio così grande che la tua voce si appiattisce, non risuona affatto. È una sensazione molto strana. Per capire cosa significhi veramente "piatto", devi trovarti in un negozio che vende tessuti (o in una camera non ecologica ... il negozio di tessuti è più facile). Tutta la merce assorbe il suono così tanto che si ottiene un senso di completo isolamento e senza alcun senso dell'orientamento.

Comunque, siamo nello spazio libero e abbiamo quel generatore di funzioni su un altoparlante da qualche parte di fronte a noi. Accendilo. Senti il ​​suono cristallino di un fischio. L'altoparlante mette l'aria in movimento vibrante e alla fine le onde raggiungono le nostre orecchie.

Ora introduciamo un foglio piano di granito. È un grande foglio di granito su ruote e possiamo posizionarlo ovunque ci piace, lo posizioniamo da qualche parte dietro di noi e osserviamo che quando ci muoviamo in una posizione specifica tra l'altoparlante e il foglio di granito, il suono si riduce in ampiezza, fino a quando scompare completamente. Perché sta succedendo? Perché i picchi delle onde che l'altoparlante produce di fronte a noi, si combinano (perfettamente) con le depressioni delle onde prodotte dall'altoparlante fantasma dietro di noi (o, in realtà, il fatto che le stesse onde dall'altoparlante rimbalzino via) del foglio di granito e ricombina. A proposito, a causa della fisica di questo rimbalzo, ovunque tu abbia una riflessione, la fase del segnale riflesso viene invertita). Pertanto, dove l'altoparlante anteriore crea una certa pressione, l'altoparlante posteriore (il riflesso) crea un po 'di "aspirazione" e l'aria non si muove in modo efficace.

Cosa c'entra questo con ?$h$

Cominciamo con un "vuoto" . No, non sono tutti zeri, sembra così . Il segnale che colpisce le orecchie è . Il qui indica la convoluzione di Matt. La risposta di L sopra. Con questo , è identico a . Questo siamo noi nello spazio libero. Ora introduciamo i dettagli del foglio di granito. Come cambia ?$h$$h= [1,0,0,0,0,0,0,0]$$z=y * h$$*$$h$$z$$y$$h$

Potrebbe essere qualcosa del genere . Il che rappresenta 1 rimbalzo qualche tempo dopo l'onda in avanti immediata che raggiunge le nostre orecchie. Se la distanza tra i due s corrisponde a mezza lunghezza d'onda della frequenza del nostro generatore, sarà zero. Altre lunghezze d'onda verranno annullate proporzionalmente.$h=[1,0,0,0,0,1,0,0,0,0]$$1$$z$

Quindi ... Possiamo scolpire lo spettro armonico di ... posizionando attentamente gli echi in ...$z$$h$

Ora dimentica la gravità. Galleggiamo nello spazio libero (non nello spazio esterno) e portiamo fogli di granito, fogli di compensato, fogli di compensato rivestiti in tessuto, fogli di tessuto molto spesso, gesso, vetro, ecc. E possiamo posizionarli in qualsiasi modo ci piace . A causa dei diversi materiali, il "profilo di eco" che stiamo effettivamente scolpendo avrà ampiezze diverse. Quindi la tua finirà per essere qualcosa di simile a .$h$$h=[1.0,0,0,0,0,-0.6,0,0.1,-0.05,0,0,0,0,0]$

Questo succede davvero nella realtà? Sì! Ogni volta che si sente il suono in una bellissima sala da concerto, qualcuno è rimasto seduto per ore a cercare di scolpire la stanza modo che i suoi riflessi non facciano venire il mal di testa alle persone o si può effettivamente sentire ciò che dice l'oratore$h$ . E puoi vedere gli strumenti di scultura intorno a te, ci sono bass trap , ci sono diffusori , ci sono semplicemente pannelli appesi al soffitto, ci sono tende, ognuna delle quali corrisponde a uno o più coefficienti in . In effetti, la stava iniziando a essere scolpita da quando l'architetto ha specificato la forma dello spazio.$h$$h$

Possiamo "ottenere" la di una stanza? Certamente, vai nel tuo salotto, gonfia un palloncino e lascialo da qualche parte vicino alla tua TV, metti un microfono da qualche parte vicino al divano e pizzica il palloncino in modo che scoppi. Che succede? Un forte disturbo atmosferico ( un impulso unitario ) viaggia attraverso lo spazio, colpisce il microfono ma rimbalza anche su pareti e oggetti e colpisce successivamente il microfono. Eccolo qui, un che, se coinvolto con il segnale "piatto" della tua TV, simulerebbe ciò che senti effettivamente nel tuo salotto. Ora ripeti lo stesso esperimento in bagno (coperto di piastrelle, firma diversa) o un lungo bunker in Scozia .$h$$h$

Stanze diverse, diverse, esperienza uditiva diversa$h$ . Diversa esperienza uditiva nel lungo sottopasso di ciottoli, diversa esperienza uditiva nel negozio di tessuti.

È un temporale. Vedi il bullone (che è il tuo primo ) e in seguito senti un rombo (successivi echi dell'arco elettrico). Questa è la che trasporta informazioni sul paesaggio e sull'atmosfera intorno a noi mentre il disturbo atmosferico causato dall'arco di fulmini viaggia nello spazio e rimbalza. Tuttavia, ci vuole lo scoppio di più di un pallone per vederlo. Colpisci la nota di un piano, l'onda viaggia lungo la corda, rimbalza sulla sua estremità e ritorna, inoltre viaggia attraverso il corpo di legno del piano e ritorna. Materiale diverso per archi e corpo, diverso, piano diverso.$1$$h$$h$

Lega una lampadina a un mattone , gettala in mare e registrala esplodendo in profondità (da questo sito ). Questa è la dell'oceano sotto la barca, trasmette informazioni su come il suono si propaga.$h$

Cosa hanno in comune tutti questi fenomeni? Onde! Onde meccaniche, infatti, nel caso del suono e dei modi in cui interagiscono. E in realtà, è solo un'approssimazione abbastanza buona. Esistono molti interessanti fenomeni non lineari (o questo ) che si verificano nel mare e nell'aria e certamente nei circuiti elettronici (realtà, in generale) che si aggregano in questo semplice modello di sinusoidi interagenti e in cui questa rappresentazione di la realtà si spezzerebbe .

Infine, si noti che nella realtà della "modellazione", (dal punto di vista matematico) l'integrale di convoluzione è un modo di risolvere equazioni differenziali (modelli di sistemi) e ha anche altre applicazioni (vedere le ultime tre in questo elenco ) .

Un modo intuitivo di guardare un filtro FIR è come una sorta di funzione match in esecuzione. Una somma ponderata dei campioni produce quanto assomiglia all'input a un valore di "corrispondenza" inerente ai pesi.

Un filtro passa-banda sembra un po 'come un pezzo di una forma d'onda alla frequenza che vuoi che passi il filtro. Una buona corrispondenza tra un segmento di circa la stessa frequenza del segnale di ingresso produce un valore positivo elevato. Sposta quell'ingresso di 90 gradi e la corrispondenza è ortogonale, o quasi, quindi il filtro emette un valore basso. Spostati di altri 90 gradi, e la forma d'onda del segnale ora sembra essere all'incirca l'inverso della forma d'onda FIR, quindi il filtro emette un valore negativo. Questa alternanza da positivo a negativo produce quindi una forma d'onda di uscita che assomiglia in qualche modo alla forma d'onda di ingresso se è una buona corrispondenza in una fase e una corrispondenza opposta in altre fasi. Altre forme d'onda di ingresso, come DC o una frequenza molto più elevata, non corrisponderanno altrettanto bene, quindi produrranno valori di uscita più bassi.

Un filtro FIR a passaggio medio o passa basso ha molti pesi uguali o quasi uguali, quindi verrà emesso a un livello superiore quando l'ingresso non oscilla con valori positivi e negativi intorno a CC, il che annullerà, almeno parzialmente, sommato dopo quasi la stessa ponderazione.

Considerando che un kernel filtro FIR che alterna ogni peso, o quasi, annullerà dato un ingresso DC, ma corrisponderà meglio agli ingressi di frequenza più alti, e quindi produrrà un input più dato che assomiglia meno a DC, ad esempio un filtro passa-alto.

Dal momento che il filtro FIR come processo LTI, il "lineare" in LTI significa che è possibile sommare più "tipi di corrispondenza" per creare una combinazione lineare di risposte in frequenza, il che è una delle ragioni per cui l'inverso FT di una risposta in frequenza produce una risposta all'impulso che può essere utilizzato per il filtro FIR con una risposta in frequenza approssimativamente desiderata.

Alcune funzioni, come seno e coseno, possono essere approssimate da vicino con una breve ricorsione. Un filtro IIR può essere considerato semplicemente come una combinazione di un breve generatore di funzioni di ricorsione che genera una forma d'onda desiderata "match" simile a un filtro FIR, oltre a fare contemporaneamente il processo di match sopra allo stesso tempo.