Come costruire uno sfasatore con spostamento di fase arbitrario

Fred, un ingegnere DSP, va nel suo negozio DSP preferito per fare shopping.

Fred: Ciao, vorrei comprare un cambio di fase.

Commessa: Hmm, cosa intendi esattamente?

Fred: Beh, sai, se inserisci una sinusoide come ottieni in uscita, per qualsiasi . E, naturalmente, deve essere regolabile. $x(t)=\sin(\omega_0t)$ $y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$ $\omega_0$ $\theta$

Commesso: Oh, capisco. Scusa, no, non li abbiamo. Ma ricordo che altri ragazzi hanno bisogno della stessa cosa, e comprano sempre un trasformatore Hilbert, un paio di moltiplicatori e un sommatore, e in qualche modo collegano tutte queste cose insieme per creare un cambio di fase regolabile.

Fred: Oh sì, giusto!

Fred finge di capire di cosa sta parlando il ragazzo. Ovviamente non ha idea di come farlo. Compra tutto ciò di cui il ragazzo ha detto di aver bisogno, e pensa da solo che potrebbe capirlo a casa, o, tutto il resto fallisce, potrebbe chiederlo a DSP.SE.

Come può Fred costruire un cambio di fase con spostamento di fase regolabile usando i componenti che ha ottenuto in negozio? $\theta$

phase hilbert-transform dsp-puzzle

— Matt L.
fonte

Grande! Si prega di chiarire se la fase deve essere la stessa per tutte le frequenze (su una data banda) o se un ritardo arbitrario costante sarebbe sufficiente (data qualsiasi frequenza, è possibile stabilire la fase, ma la fase cambierà linearmente con la frequenza). Penso di conoscere la risposta per entrambi i casi, ma aspetterò un paio di giorni per vedere cos'altro succede!

— Dan Boschen,

Questo negozio di cui stai parlando ... è vicino all'Hilbert's Hotel, giusto?

— M529,

Gli unici trasformatori Hilbert decenti immagazzinati dai negozi qui sembrano avere questi enormi ritardi nell'input. Ho visto alcuni più veloci in un catalogo di macchine del tempo, ma le recensioni di Yelp per quel venditore sembrano avere 0 stelle.

— hotpaw2,

@DanBoschen: qualsiasi input sinusoidale verrà spostato di , indipendentemente dalla sua frequenza. Quindi il ritardo di fase è diverso per ogni frequenza.

θ

$\theta$

— Matt L.

@ hotpaw2: basta ignorare quelle stelle e prenderne una velocemente prima che siano esaurite!

— Matt L.

Risposte:

Bella domanda! Utilizza una delle mie identità di trigge preferite (che può anche essere utilizzata per mostrare che la modulazione in quadratura è in realtà l'ampiezza e la modulazione di fase simultanee).

La trasformata di Hilbert di è . Inoltre, (vincolata ad $\sin(2\pi f_0t)$ $-\cos(2\pi f_0t)$
$\sin (2 π f_{0} t + θ) = a \sin (2 π f_{0} t) + b \cos (2 π f_{0} t)$ $\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$ ), con . Questo suggerisce un possibile approccio. Di 'che Fred ha bisogno di radianti. Calcola l' . Poi, ha bisogno di trovare e tali che e , con e $a^2+b^2=1$ $\theta=\text{atan2}(b,a)$ $\theta=2.1$ $\tan(2.1)\approx-1.71$ $a$ $b$ $a^2+b^2=1$ $b/a=-1.71$ $a<0$ $b>0$ , che è un semplice problema di algebra. Impostare , , $a_0=-1$ $b_0=1.71$ ,e. Poi, Fred può facilmente generare un seno con la fase desiderata utilizzando un trasformatore di Hilbert, due moltiplicatori, due sorgenti DC (un set divolt e le altre avolt, per curare il segno del coseno), e un sommatore. $n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$ $a=a_0/n$ $b=b_0/n$ $a$ $-b$

La risposta all'impulso del sistema sopra descritto è data da:

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

Diagramma a blocchi:

— MBaz
fonte

a

$a$

b

$b$

\cos θ

$\cos\theta$

\sin θ

$\sin\theta$

Per chiarimenti, potresti aggiungere la risposta all'impulso e / o la risposta in frequenza dell'intero sistema?

— Matt L.

Molto buono MBaz, questo è in linea con quello che stavo pensando, essenzialmente un "modulatore vettoriale" che è un componente acquistato per questo scopo (come una sola applicazione). Tuttavia, il trasformatore HIlbert non può essere acquistato come componente reale senza limitarlo alla limitazione della banda (o immagino che l'utente possa ottenere un trasformatore diverso per ciascuna banda di interesse). Ora sono molto interessato a vedere la soluzione di Matt se è diversa in quanto era tutto ciò che riuscivo a trovare.

— Dan Boschen,

a

$a$

b

$b$

@DanBoschen Sì, ho pensato che il trasformatore di Hilbert sia l'ideale, che penso sia OK per questo puzzle. Sono anche interessato a vedere la soluzione alternativa di Matt.

— MBaz,

La risposta di MBaz è corretta. Vorrei solo aggiungere un altro modo di pensarci, ovviamente portando allo stesso risultato:

$\theta$
$H (ω) = {\begin{cases} e^{- j θ}, & ω > 0 \\ e^{j θ}, & ω < 0 \end{cases}$ $H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$ $H (ω) = e^{- j θ sign (ω)} = \cos (θ) - j sign (ω) \sin (θ)$ $H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$ $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$ $g(t)=\frac{1}{\pi t}$ $h (t) = \cos (θ) δ (t) + \sin (θ) \frac{1}{π t}$ $h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$ $\sin(\theta)$ $\cos(\theta)$

$2N+1$ $N$

— Matt L.
fonte

Bella spiegazione - la controparte nel dominio della frequenza della mia soluzione nel dominio del tempo.

— MBaz,

\sin (θ)

$\sin(\theta)$

\cos (θ)

$\cos(\theta)$