Perché il sistema LTI non può generare nuove frequenze?

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Perché implica che un sistema LTI non può generare nuove frequenze? $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
Perché se un sistema genera nuove frequenze, allora non è LTI?

convolution time-frequency

— UTENTE
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Una delle caratteristiche definitive dei sistemi LTI è che non possono generare nuove frequenze che non siano già presenti nei loro ingressi. Si noti che in questo contesto una frequenza si riferisce a segnali del tipo o che sono di durata infinita e sono anche chiamati autofunzioni di LTI sistemi (specificatamente solo per il complesso esponenziale) e le cui trasformazioni di CT Fourier sono espresse da funzioni di impulso nel dominio della frequenza come o $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ $\cos(\Omega_0 t)$ $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ repectively.

Un modo per capire perché è così, viene osservando il CTFT, , dell'uscita , che è dato dalla nota relazione solo quando il sistema è LTI (e anche di fatto stabile in modo che esista ). $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

(ovvero vale solo quando esiste la risposta all'impulso e esisterà solo quando il sistema è LTI.)

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

Da un piccolo pensiero, guidato da un semplice diagramma grafico e usando la proprietà di moltiplicazione sopra, si può vedere che la regione di frequenza del supporto (insieme di frequenze per cui è diversa da zero), dell'uscita è dato dall'intersezione delle regioni di supporto e degli ingressi e risposta in frequenza del sistema LTI: $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

E dal set di algebra sappiamo che se poi e . Cioè, un'intersezione è sempre inferiore o equivalente a ciò che viene intersecato. Pertanto, la regione di supporto per sarà inferiore o al massimo uguale al supporto di . Quindi non verranno osservate nuove frequenze all'uscita. $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

Poiché questa proprietà è una condizione necessaria per essere un sistema LTI , qualsiasi sistema che non la possiede, pertanto, non può essere LTI.

— fat32
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Puoi fare un semplice argomento algebrico, data la premessa che hai fornito. Se:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

dove è lo spettro del segnale di ingresso e ) è la risposta in frequenza del sistema, è ovvio che se nel segnale di ingresso è presente per cui , quindi anche ; non esiste un fattore che potresti moltiplicare per produrre un valore diverso da zero. $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

Detto questo, stabilire la verità della premessa con cui ho iniziato sopra per i sistemi LTI richiede del lavoro. Tuttavia, se assumiamo che sia vero, allora il fatto che un sistema LTI non può introdurre alcun nuovo componente di frequenza nel suo output segue direttamente.

— Jason R
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la prova sarebbe quella di dimostrare che per qualsiasi segnale sufficientemente ben comportato, la trasformata di Fourier è invertibile e sia l'FT che il suo inverso sono lineari. Ogni segnale con una frequenza è sufficientemente ben educato.

— Marcus Müller,

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Perché implica che un sistema LTI non può generare nuove frequenze? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

Se una certa frequenza non è presente nel nostro input, . Perché 0 obbedisce all'identità moltiplicativa , . Pertanto la frequenza non è presente nel segnale di uscita. $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

Perché se un sistema genera nuove frequenze, allora non è LTI?

Supponiamo che il nostro input sia . Quindi se assumiamo che il nostro sistema sia in grado di generare nuove frequenze, è possibile ottenere l'output . Poiché non siamo in grado di trovare costanti tali che , il nostro sistema non è LTI. $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— Scott
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Per il controllo LTI non è stato usato solo c1 e non anche c2?

— UTENTE

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direi che il primo punto, che è essenzialmente che non puoi ottenere qualcosa di diverso da zero moltiplicando zero volte qualsiasi cosa, è la risposta concisa.

— robert bristow-johnson,

c1 viene utilizzato per la linearità, c2 viene utilizzato per il time-shifting. Potremmo avere un sistema LTI che ritarda tutto di 1 unità di tempo.

— Scott,

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Un sistema LTI è diagonalizzato da frequenze pure . I seni / coseni sono autovettori del sistema lineare. In altre parole, ogni singolo ingresso seno o coseno diverso da zero (o un complesso cisoide) ha un'uscita seno o coseno della stessa frequenza esattamente (ma l'ampiezza dell'uscita può svanire).

L'unica cosa che può cambiare è la loro ampiezza o la loro fase. Quindi, se non si ha un seno con una data frequenza nell'ingresso, non si ottiene nulla (zero) con quella frequenza in uscita.

Alla seconda domanda si risponde con la contrapposizione o regula falsi: se è vero, così è . Se un sistema è LTI, non genera nuove frequenze. Se un sistema genera nuove frequenze, non è LTI. $A\implies B$ $\overline{B}\implies \overline{A}$

— Laurent Duval
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