Intuizione per gli apparecchi laterali in FFT

Mi chiedevo se esiste un modo intuitivo per capire perché compaiono i sidelobes quando si esegue una FFT su un segnale di lunghezza fissa?

Ho due spiegazioni con l'intento di fornire ulteriori informazioni intuitive oltre alla concisa spiegazione matematica; in primo luogo, una spiegazione dall'espansione della serie di Fourier insieme all'idea di ripetere la sequenza del dominio del tempo troncato che mostra le discontinuità implicite che ne risultano, che richiedono più componenti di frequenza da ricostruire di quante esisterebbero realmente se la forma d'onda non fosse troncata. E in secondo luogo, una spiegazione dall'esaminare il DFT come una banca di filtri non così grandi.

Prima spiegazione: espansione della serie di Fourier e periodicità temporale

La trasformata di Fourier di una sequenza a tempo limitato è identica alla trasformata di Fourier di una sequenza periodica per tutti i tempi.

Ciò vale per la trasformata di Fourier e per la trasformata discreta di Fourier ed è nota come proprietà periodicità del DFT:

Proprietà periodicità: dato il vettore DFT del punto N X [k], con un campione DFT inverso x [n], con k e n che vanno da 0 a N-1; se n non è compreso nell'intervallo 0,1,2 ..., N-1, allora

$x[n] = x[modulo(n,N)]$

Allo stesso modo, data una sequenza temporale del punto N x [n], con un DFT X [k], se k è al di fuori dell'intervallo 0, 1,2, ..., N-1, allora

$X[k] = X[modulo(k,N)]$

Per ottenere una comprensione intuitiva, una chiave di volta è che tutto ciò che viene campionato in un dominio diventa periodico nell'altro dominio. Allo stesso modo, tutto ciò che è periodico in un dominio, viene campionato (a valori discreti) nell'altro dominio. Qui in particolare, "campionato" significa che il segnale esisterà solo come valori diversi da zero in posizioni discrete nel dominio (flusso di impulsi).

Campionamento in un dominio -> Periodicità nell'altro dominio : considerare lo spettro di un'onda di coseno analogica a 3 Hz prima e dopo il campionamento con un convertitore A / D. Lo spettro digitale può essere visto come periodico; una vista cilindrica dello spettro digitale è anche una vista valida per spiegare la periodicità, ma trovo che questa estensione al dominio di frequenza analogica (avendo la frequenza estesa a +/- infinito) aiuta alcuni a ottenere una visione intuitiva dell'elaborazione del segnale coinvolta .

Periodicità in un dominio -> Campionamento nell'altro dominio : considerare l'espansione della serie di Fourier come un semplice esempio che dimostra questa proprietà. L'espansione della serie di Fourier viene eseguita su un intervallo di dominio temporale finito da 0 a T. Se scomposte in componenti di frequenza separati, le uniche frequenze utilizzate sono DC, la frequenza fondamentale 1 / T e multipli interi di 1 / T (armoniche). In effetti, poiché le frequenze possono esistere solo a multipli di 1 / T (e DC), il dominio della frequenza è stato campionato.

Inoltre, se ricostruiamo la forma d'onda del dominio del tempo, sommando le singole componenti di frequenza, possiamo anche visualizzare la periodicità implicita nel dominio del tempo se permettiamo alle componenti di frequenza di estendersi oltre l'intervallo da 0 a T. È a causa di questa periodicità che i componenti di frequenza non possono esistere a frequenze diverse dai multipli di 1 / T (a causa della condizione opposta: se esistessero, allora non inizierebbero e terminerebbero costantemente nell'intervallo di tempo da 0 a T, e quindi la periodicità non può esistere).

La comprensione di quanto sopra aiuterà a fornire una spiegazione intuitiva della perdita spettrale. Quindi ora ripeterò un punto principale:

La trasformata di Fourier di una sequenza a tempo limitato è identica alla trasformata di Fourier di una sequenza periodica per tutti i tempi.

Perdite spettrali con la vista " Espansione serie Fourier ":

Considera due forme d'onda sinusoidali nell'intervallo di tempo compreso tra 0 e T, la prima con un numero intero di cicli nell'intervallo di tempo e il secondo caso con un numero non intero di cicli.

Chiaramente nel caso 1 possiamo vedere con la visione della ripetizione che anche ripetere la nostra pura sinusoide rimane una pura sinusoide, ma nel caso 2 la nostra sinusoide ora soffre di transizioni brusche e, usando la vista di ricostruzione della serie Fourier Expansion, richiederebbe diverse componenti di frequenza per ricostruire una tale forma d'onda nel dominio del tempo.

Seconda spiegazione: Filter Bank View del DFT

Un'altra spiegazione intuitiva della perdita spettrale (e aiuta in modo significativo a comprendere il DFT in generale) è quella che chiamo la vista del banco filtro del DFT. Per vedere questo, considera un semplice DFT a 4 pt come mostrato nella figura sotto e osserva per ogni bin, stiamo effettivamente ruotando il segnale e quindi passando i valori ruotati attraverso un filtro FIR con guadagno di unità a 4 tap. Per il primo bin, che corrisponde a DC, non c'è rotazione, quindi sommiamo solo i quattro campioni, e per gli altri bin ruotiamo progressivamente a frequenze più alte mentre ci muoviamo attraverso i bin DFT:

(Nota a margine: se eseguiamo un DFT in streaming, dove calcoliamo un nuovo DFT a 4 punti su una sequenza di 4 punti durante la scansione di una forma d'onda, sarebbe esattamente un tale banco di filtri, ma indipendentemente dal fatto che lo facciamo o no, questo vista offre una visione approfondita della dispersione spettrale oltre alla consueta convoluzione di una funzione sinc nel dominio della frequenza che la spiegazione matematica rivela)

Ora considera la risposta in frequenza per ciascun filtro FIR equivalente, usando i coefficienti indicati nel DFT (ad esempio usa freqz ([coeff]) in Matlab o Python) come mostrato nella figura seguente:

Ecco il punto principale: poiché ogni filtro nella costruzione del DFT è fondamentalmente un filtro FIR con guadagno unitario , la forma di questo filtro in frequenza si avvicina a una funzione sinc man mano che la lunghezza del DFT si allunga (ed è una funzione sinc piccola N). Quindi chiameremo questi filtri sinc e noteremo che un filtro sinc ha bande laterali relativamente alte e ha un inviluppo che rotola molto lentamente con frequenza (a 1 / f per un sincero puro). Con i rotatori di fase nel DFT, spostiamo semplicemente il lobo principale di questo filtro sinc su ciascun contenitore di interesse, ma i lobi laterali che esistono per ciascun contenitore consentono alle frequenze in altre posizioni di far apparire energia in questo contenitore . La quantità di perdite è completamente prevista da questi filtri.

Usando questa vista, prendi in considerazione un segnale di input a tono singolo con una frequenza compresa tra due bin di frequenza, come mostrato nella figura seguente (un input che esiste esattamente su qualsiasi bin avrà un numero intero di cicli nell'intervallo del dominio del tempo e quindi NESSUNA dispersione spettrale come abbiamo mostrato in precedenza). Il filtro superiore mostra l'ampiezza in questa posizione di frequenza che "colerà" nel primo contenitore. Il secondo filtro mostra l'ampiezza (leggermente superiore), il terzo bin (a cui la nostra frequenza più vicina a) avrà la risposta più alta e il quarto bin sarà più basso.

SOMMARIO

Ho presentato due spiegazioni con l'intento di fornire ulteriori intuitivila comprensione oltre la concisa spiegazione matematica della moltiplicazione per una finestra rettangolare nel dominio del tempo è una convoluzione nel dominio della frequenza (e la perdita che vediamo quindi è il risultato di una funzione sincera che si avvolge in frequenza con la nostra forma d'onda di interesse che abbiamo troncato nel tempo) ; in primo luogo, una spiegazione dall'espansione della serie di Fourier insieme all'idea di ripetere la sequenza del dominio del tempo troncato che mostra le discontinuità implicite che ne risultano, che richiedono più componenti di frequenza da ricostruire di quante esisterebbero realmente se la forma d'onda non fosse troncata. E in secondo luogo, una spiegazione dall'esaminare il DFT come un banco di filtri, e filtri scadenti (in particolare i filtri di guadagno unitario che si avvicinano a una risposta in frequenza della funzione sinc all'aumentare di N).

Quando tiri fuori $N$ campioni di una sinusoide da un flusso di campioni di lunghezza maggiore (perché tutto ciò che puoi fare è passare $N$campioni alla FFT), stai applicando una finestra. La finestra rettangolare

Il windowing è una moltiplicazione nel dominio del tempo. La moltiplicazione nel dominio del tempo corrisponde alla convoluzione nel dominio della frequenza. I lobi laterali che vedi è il risultato della convoluzione della Trasformata di Fourier della funzione finestra con la singola linea spettrale che sarebbe la Trasformata di Fourier della sinusoide.

I vettori di base di un DFT sono tutti esattamente interi periodici all'interno della larghezza dell'apertura del DFT. Se il tuo segnale non è esattamente intero periodico entro la tua lunghezza fissa, non può essere rappresentato esattamente e completamente da nessuna singola frequenza di vettori di base DFT. Se il tuo segnale assomiglia a una sinusoide, allora è spesso rappresentato principalmente da un singolo bin di frequenza dei risultati DFT (in più è un'immagine speculare coniugata complessa per un input strettamente reale), ma poiché potrebbe non essere una corrispondenza esatta in frequenza, il resto, non - l'energia corrispondente deve essere rappresentata da qualche parte affinché il risultato DFT rappresenti completamente il segnale. Quell'energia rimasta va nei lobi laterali.

Se sottrai la migliore sinusoide periodica corrispondente ma esattamente intera dal tuo segnale, la differenza (potrebbe assomigliare a un sottile triangolo attorcigliato o papillon, provalo) è ciò che viene rappresentato o decomposto dai lobi laterali.

La forma dei lobi laterali è un Sinc (o più precisamente, un periodico kernel Sinc o Dirichlet), poiché quella è la trasformazione della finestra rettangolare che si ottiene su qualsiasi segnale di lunghezza finita.

Mi sto insegnando molto lentamente DSP e ho riflettuto su domande simili. Spero che una spiegazione molto semplice che ti sarà utile sia:

Ogni bin FFT rappresenta esattamente una frequenza specifica. Quindi, per rappresentare una frequenza che non corrisponde alla frequenza esatta di un cestino, significa che deve trovarsi tra due contenitori, ovvero verrà spalmato su due contenitori.

Quando si pensa al fatto che una FFT può essere applicata solo a una parte del segnale, in genere vi è una discontinuità a ciascuna estremità della parte del segnale a cui si applica la FFT. Questo è più difficile da spiegare semplicemente, ma immagino che potresti pensarlo come forzare la matematica a introdurre una tonnellata di onde sinusoidali extra per modellare la discontinuità e inquinare più bin (questo risponde alla domanda, il prossimo bit su Windows è un lato ), quindi per mitigarlo, viene utilizzata una finestra per appianare la discontinuità a ciascuna estremità, ma alla fine della modifica del segnale.

Quando dico frequenza intendo onda sinusoidale di una determinata frequenza, quindi l'analisi di Fourier presuppone che tu stia pensando al tuo segnale come una somma di onde sinusoidali.