Qual è un buon esempio di processo ergodico?

Sto cercando di trovare semplici esempi di un processo ergodico. Quale processo ti viene in mente come una buona illustrazione delle sue proprietà?

Una rapida ricerca ( Wikipedia , un'altra risposta ) fornisce principalmente esempi di processi non ergodici. Inoltre, mi chiedo quali fenomeni del mondo reale si prestino ad essere modellati come un processo ergodico?

Supponiamo che ti dia una serie di numeri e ti dico che sono stati scelti a caso. E sai che non sto cercando di ingannarti. I numeri sono: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ .

Ti propongo ora di prevedere il prossimo, o almeno, di essere il più vicino possibile. Quale numero sceglieresti?

[Pensare]

[Calcolare]

• Scommetto che è probabile che la maggior parte dei lettori scelga un numero compreso tra $0$ e $6$ . A causa della durata limitata.
• Forse un numero intero. Chi probabilmente proporrà $\pi$ (anche pensando alle prime cifre)?
• Forse $2$ , $3$ o $4$ . Forse anche $3$ .

Fondamentalmente, stai assumendo che ho fornito numeri con qualche regola sconosciuta. E forse, potresti pensare (o fare l'ipotesi) che la serie di numeri dati, se abbastanza a lungo, può fornirti una buona comprensione delle regole che ho in mente. Se lo fai, ipotizzi che il mio processo mentale sia ergodico:

un processo in cui ogni sequenza o campione considerevole è ugualmente rappresentativo del tutto (come per quanto riguarda un parametro statistico) ( Merriam-Webster )

Qui, non c'è modo di essere sicuro che la mia serie segua un processo ergodico. 3432 è il PIN della mia carta, 3 un errore (volevo 6, ma sono maldestro), 4, 3, 1 e 5 sono le prime cifre di $\pi$ che uso abbastanza spesso. Il mio prossimo "numero" sarebbe stato C (in esadecimale). Non credo che questo processo sia ergodico. Ogni numero viene da diverse leggi. Ma onestamente, non lo so. Forse sono soggetto ad alcune forze di ordine superiore che mi guidano secondo le regole dell'ergodicità.

Quindi, l' ergodicità è un'ipotesi di una sorta di "semplicità" nelle regole di un processo. Come la stazionarietà o la scarsità. Lancia un dado regolare con $6$ facce. Lancia una moneta normale. Se nulla al di fuori cerca di influenzare il risultato (un essere invisibile che cattura il dado e mostra una faccia a sua scelta), è probabile che produca un processo ergodico.

Invece di essere in grado di lanciare un numero infinito di monete, con il tuo numero infinito di pollici, esattamente nello stesso secondo, lanci una moneta ogni secondo e credi che il risultato finale sia più o meno lo stesso.

Anche il moto browniano possiede proprietà ergodiche.

Dall'articolo di Wikipedia:

si dice che un processo stocastico sia ergodico se le sue proprietà statistiche possono essere dedotte da un singolo campione sufficientemente lungo e casuale del processo.

In altre parole: le proprietà statistiche dell'insieme temporale sono le stesse delle proprietà statistiche dell'insieme di realizzazione.

Forse dobbiamo fare un passo indietro e parlare di cosa sia un processo stocastico, per iniziare.

Immagina che sia un giorno tempestoso. Ti siedi a casa e guardi fuori dalla finestra. Occasionalmente, vedi le foglie che vengono spazzate dalla tua finestra. Ottieni i tuoi marker di lavagna e disegna un sistema di coordinate sulla tua finestra, quindi ora puoi osservare più percorsi foglia e confrontarli:

Quindi, ogni percorso è una realizzazione del processo stocastico dei "percorsi delle foglie in un giorno di tempesta".

$y$$x$

$x$$y$$x$

Di solito è più difficile comprendere il caso non ergodico (ecco perché le persone cercano più spesso esempi di tali processi).

$X(t)$$t$$X$$0$$1$$\frac{1}{2}$

$N$$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$$m\to \frac{1}{2}$

Per quanto riguarda la seconda parte della tua domanda, possiamo usare l'ergodicità per semplificare i problemi. Ad esempio, tra la media dell'ensemble e la media temporale potrebbe essere difficile o addirittura impossibile calcolare (o simulare). Ma poiché sappiamo (o assumiamo) che il processo è ergodico (cioè sono identici), calcoliamo solo quello che è più semplice. Ad esempio, posso pensare ai metodi Monte Carlo (come quelli che usiamo per modellare le prestazioni degli errori di un sistema di comunicazione) in cui simuliamo la catena di trasmissione-ricezione e la ripetiamo per diverse volte e calcoliamo la media dei risultati per scoprire proprietà dell'ensemble (come la probabilità di errore, ecc.).